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Vidéo de la leçon : Résultante des mouvements et des forces Physique

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment montrer que des déplacements dans des directions perpendiculaires peuvent être représentés par un déplacement dans une direction.

24:10

Transcription de vidéo

Dans cette leçon, nous allons apprendre à trouver le résultat global lors de la combinaison de plusieurs valeurs d’une quantité cinétique, telles que deux déplacements ou deux accélérations. En faisant de telles combinaisons, les vecteurs seront les meilleurs objets mathématiques pour représenter nos quantités cinétiques. Rappelons-nous donc comment travailler avec des vecteurs et leurs composantes.

Les vecteurs sont des objets mathématiques qui ont à la fois une norme et un sens. Nous pouvons facilement représenter les vecteurs comme des flèches, où la longueur de la flèche est la norme du vecteur. Et le sens selon lequel pointe la flèche est le sens du vecteur, dans ce cas vers la droite. Représenter les vecteurs comme des flèches nous permet de faire certains types de calculs vectoriels géométriquement.

Pour faire ces calculs, il est utile de pouvoir se référer aux deux extrémités du vecteur sans ambiguïté. Nous appellerons donc cette extrémité la queue et cette extrémité la tête. Nous pouvons facilement voir pourquoi les vecteurs sont utiles pour représenter des quantités cinétiques en considérant une personne qui pousse une boîte le dong du sol. Disons que notre personne exerce une force de 10 newtons pour pousser la boîte. Alors 10 newtons est la norme de la force. Mais le simple fait de savoir cette norme ne nous dit pas si l’on pousse la boîte vers la gauche ou la droite.

Maintenant, comme nous pouvons le voir clairement sur l’image, le sens de la force est vers la droite. Ainsi, l’information complète sur cette force comprend à la fois sa norme et son sens, ce qui explique pourquoi les vecteurs sont le moyen approprié de représenter la force. Comme nous le verrons plus tard, pour décrire n’importe quelle quantité cinétique qui nous intéresse, nous aurons besoin d’une norme et d’un sens. Donc, puisque les vecteurs sont le choix approprié pour tous ces éléments, continuons à déterminer comment combiner des vecteurs.

Lorsque nous additionnons deux vecteurs, nous devons tenir compte du fait que chacun a un sens. Nous aurons donc besoin d’une procédure qui est différente que lorsqu’on additionne simplement deux nombres. En représentant les vecteurs comme des flèches, nous pouvons effectuer cette somme assez facilement. Par exemple, considérons la somme de ces deux vecteurs ici.

Pour effectuer cette somme, nous devons aligner la queue du deuxième vecteur sur la tête du premier vecteur. Nous le faisons graphiquement en dessinant simplement le deuxième vecteur avec sa queue à la tête du premier vecteur. La somme de ces deux vecteurs est maintenant le vecteur dont la queue est à la queue du premier vecteur et dont la tête est à la tête du deuxième vecteur. Et encore une fois, nous trouvons cela géométriquement en dessinant simplement cette flèche.

Comme nous pouvons le voir, la norme et le sens de cette somme vectorielle est différente de la simple somme arithmétique des valeurs et sens de nos deux vecteurs originaux. Cependant, comme l’addition de nombres, l’addition de vecteurs est également commutative. Cela signifie que l’ordre de la somme n’a pas d’importance. Donc, dessiner le vecteur bleu à la tête du vecteur orange donne le même résultat en vecteur somme que dessiner le vecteur orange à la tête du vecteur bleu. L’addition d’une paire de vecteurs faite de cette manière pour obtenir une somme unique suggère une autre façon de représenter un vecteur individuel.

Nous allons commencer par dessiner notre vecteur avec sa queue à l’origine d’axes cartésiens. Maintenant, imaginons que nous traçons une droite verticale de la tête de notre vecteur à l’axe horizontal. Ensuite, nous pouvons dessiner ce vecteur le long de l’axe horizontal qui va vers la droite exactement autant que le fait la tête de notre vecteur d’origine. Nous pouvons également faire la même chose pour l’axe vertical.

Maintenant, ce vecteur le long de l’axe vertical va exactement aussi loin vers le haut que la tête de notre vecteur d’origine. Mais maintenant, regardons attentivement cette image. Le vecteur vertical se placerait exactement entre la tête du vecteur horizontal et la tête du vecteur vertical. Il en va de même pour le vecteur horizontal. Il se place exactement entre la tête du vecteur vertical et la tête de notre vecteur d’origine. Mais regardons attentivement ce que nous avons dessiné. Que nous commencions par le vecteur vertical ou horizontal, nous avons la queue d’un deuxième vecteur dessinée à la tête d’un premier vecteur.

Nous avons ensuite un troisième vecteur dont la queue est la même que celle du premier vecteur et dont la tête est la même que celle du deuxième vecteur. Mais ce ne sont que les trois vecteurs impliqués dans une somme vectorielle. Ainsi, notre vecteur magenta d’origine peut être représenté par la somme d’un vecteur orange horizontal et d’un vecteur bleu vertical. Si nous appelons notre vecteur d’origine 𝐕, où nous utilisons une demi-flèche au-dessus d’une lettre pour représenter le fait que nous parlons d’un vecteur, alors nous appelons les vecteurs horizontal et vertical les composantes de 𝐕. Et nous utilisons généralement le symbole 𝐕 indice 𝑥 pour représenter la composante horizontale et 𝐕 indice 𝑦 pour la composante verticale. Symboliquement, nous écririons que 𝐕 est la somme de 𝐕 𝑥 et 𝐕 𝑦.

C’est une représentation très puissante car, comme nous pouvons le voir sur notre graphique, 𝐕 𝑥 et 𝐕 𝑦 sont alignés avec les axes de notre système cartésien, ce qui signifie qu’ils sont perpendiculaires. Qualitativement, cela nous permet de parler indépendamment des composantes horizontale et verticale de 𝐕, même si 𝐕 lui-même n’est ni horizontal ni vertical. En langage technique, nous appelons 𝐕 𝑥 et 𝐕 𝑦 les projections de 𝐕 sur ces axes. Cela signifie simplement que 𝐕 𝑥 et 𝐕 𝑦 sont les composantes de 𝐕 qui sont parallèles aux axes de notre système.

Quantitativement, le fait que notre triangle formé par 𝐕 𝑥, 𝐕 𝑦 et 𝐕 est un triangle rectangle signifie que nous pouvons facilement appliquer le théorème de Pythagore et faire des calculs trigonométriques. Admettons que le symbole d’un vecteur sans demi-flèche par-dessus représente la norme de ce vecteur. Ensuite, nous avons, par le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle rectangle, que la norme de 𝑉 est égale à la racine carrée de la somme des carrés de la norme de 𝑉 𝑥 et de la norme de 𝑉 𝑦. Donc, cela relie la norme de 𝑉 à 𝑉 𝑥 et 𝑉 𝑦.

Voyons si nous pouvons également relier les sens. Puisque notre vecteur est dessiné sur des axes cartésiens, nous pouvons représenter le sens du vecteur par l’angle entre le vecteur et l’axe horizontal. Appelons cet angle 𝜃. Pour relier 𝜃 à 𝑉 𝑥 et 𝑉 𝑦, rappelons que la tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle est égale à la longueur du côté opposé divisée par la longueur du côté adjacent. Dans ce triangle, 𝐕 𝑦 est opposé à 𝜃 et 𝐕 𝑥 est adjacent à 𝜃. Ainsi, tan de 𝜃 est la norme de 𝑉 𝑦 divisée par la norme de 𝑉 𝑥.

Alternativement, nous pouvons maintenant prendre la tangente inverse des deux côtés de cette équation. Cela nous donne 𝜃, le sens de 𝑉, est égale à la tangente inverse de la norme de 𝑉 𝑦 divisée par la norme de 𝑉 𝑥. Cela nous donne deux équations, une pour la norme et une pour le sens du vecteur 𝐕 en fonction uniquement des norme de ses composantes. Nous n’avons pas besoin de faire référence aux sens de ces composantes car nous savons qu’ils sont perpendiculaires les uns aux autres et parallèles aux axes de notre système.

Inversement, nous pouvons également trouver les normes de 𝑉 𝑥 et 𝑉 𝑦 à partir de la norme de 𝑉 et de son sens. Rappelons que le cosinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle est la longueur du côté adjacent divisée par la longueur de l’hypoténuse. Cela signifie que la longueur de 𝑉 𝑥 est égale à la longueur de 𝑉 fois le cosinus de 𝜃. De même, pour trouver la longueur du côté opposé d’un angle aigu, nous utilisons le sinus de l’angle au lieu du cosinus. Ainsi, la norme de 𝑉 𝑦 est la norme de 𝑉 fois le sinus de 𝜃.

Ces deux équations nous donnent maintenant la norme des composantes d’un vecteur en fonction de la norme du vecteur lui-même et du sens du vecteur. Notez que, encore une fois, nous n’avons fait aucune référence aux sens de ces vecteurs. C’est parce que leurs sens sont prédéterminées. Le vecteur 𝐕 𝑥 est toujours horizontal, et le vecteur 𝐕 𝑦 est toujours vertical.

Nous avons commencé par nous servir de notre notion d’addition de vecteurs pour arriver à l’idée des composantes vectorielles. Maintenant, nous pouvons faire l’inverse. Nous pouvons utiliser les équations que nous avons dérivées pour améliorer notre capacité à ajouter des vecteurs.

Considérons maintenant une somme de deux vecteurs, le vecteur 𝐕 et le vecteur 𝐔. Nous savons déjà comment effectuer cette somme en traçant un vecteur de la queue du vecteur 𝐕 à la tête du vecteur 𝐔. Mais avant de faire cette étape, dessinons les composantes horizontale et verticale de ces deux vecteurs. Pour le vecteur 𝐕, le processus est le même que précédemment. Nous traçons un segment vertical par rapport à l’axe horizontal, ce qui nous indique la longueur de la composante horizontale. La composante verticale est donc le vecteur entre la tête de la composante horizontale et le vecteur 𝐕 lui-même.

Et ainsi, comme précédemment, nous avons que 𝐕 est la somme de 𝐕 𝑥 et 𝐕 𝑦. Nous pouvons faire la même chose pour 𝐔. Mais nous devons tenir compte du fait que la queue de 𝐔 n’est pas située à l’origine de notre système. Ce n’est pas un problème. Si nous nous souvenons bien, ce qui définit vraiment les composantes du vecteur est que la composante horizontale est parallèle à l’axe horizontal du système. La composante verticale est parallèle à l’axe vertical du système. Et la somme des composantes est égale au vecteur lui-même. En d’autres mots, les composantes horizontale et verticale d’un vecteur forment les bras horizontal et vertical du triangle rectangle dont le vecteur est l’hypoténuse.

Pour le vecteur 𝐔, ces deux bras sont ces lignes pointillées. Ainsi, le bras horizontal est 𝐔 𝑥 et le bras vertical est 𝐔 𝑦. Donc, comme nous pouvons le voir, nous pouvons toujours dessiner les composantes de 𝐔 même si 𝐔 n’est pas à l’origine.

Très bien, dessinons maintenant le vecteur qui est la somme des vecteurs 𝐕 et 𝐔. Appelons ce vecteur 𝐖. Nous cherchons maintenant les composantes horizontale et verticale de 𝐖. Les composantes de 𝐖 formeront les bras du triangle rectangle avec 𝐖 comme hypoténuse. Sur l’axe horizontal, ce sera le vecteur 𝐕 𝑥 plus le vecteur représenté par cette flèche pointillée orange. Sur l’axe vertical, ce sera le vecteur représenté par cette flèche pointillée bleue plus le vecteur 𝐔 𝑦.

Mais maintenant, regardons de près ces deux vecteurs pointillés. Le vecteur pointillé orange est le même que le vecteur 𝐔 𝑥. De même, le vecteur pointillé bleu est le même que le vecteur 𝐕 𝑦. Ces deux choses sont vraies car les deux vecteurs continus et les deux vecteurs pointillés forment un rectangle et les côtés opposés d’un rectangle sont congruents.

Quoi qu’il en soit, nous pouvons maintenant facilement voir que puisque la queue de 𝐔 𝑥 alignée à la tête de 𝐕 𝑥 fait le vecteur 𝐖 𝑥, 𝐖 𝑥 est égal à 𝐕 𝑥 plus 𝐔 𝑥. Par la même logique et en utilisant la commutativité de l’addition de vecteurs, nous avons que 𝐖 𝑦 est égal à 𝐕 𝑦 plus 𝐔 𝑦. Rappelez-vous cependant que nos deux équations pour les composantes de 𝐖 venaient de notre relation initiale que 𝐖 est égal à 𝐕 plus 𝐔. Cela nous amène à une conclusion très importante sur la somme de deux vecteurs. Les composantes d’un vecteur qui est la somme de deux autres vecteurs sont chacun individuellement égaux à la somme de la composante correspondante de ces deux vecteurs.

Donc, comme nous l’avons déjà vu, la composante horizontale de 𝐖 est la somme des composantes horizontales de 𝐕 et 𝐔. Maintenant, nous pourrions raisonnablement nous demander pourquoi cela nous aide. Il semble que nous venons de remplacer une équation vectorielle par deux équations vectorielles. Cependant, cela nous a en fait beaucoup aidé. Nous ne pouvons pas évaluer la somme de 𝐕 plus 𝐔 sans considérer le sens de ces vecteurs.

Cependant, rappelez-vous que chaque composante horizontale a le même sens. Lorsque nous ajoutons deux vecteurs avec le même sens, nous ajoutons simplement leurs normes et gardons le sens. Cela signifie que nous pouvons remplacer nos deux équations pour les composantes horizontale et verticale de 𝐖 par leurs équivalents non-vectoriels. Ainsi, la norme de 𝑊 𝑥 est égale à la norme de 𝑉 𝑥 plus la norme de 𝑈 𝑥. Et il en va de même pour la norme de 𝑊 𝑦. C’est la norme de 𝑉 𝑦 plus la norme de 𝑈 𝑦.

Encore une fois, la seule raison pour laquelle nous avons pu convertir ces équations vectorielles en équations scalaires est que tous les vecteurs de chaque équation ont le même sens. Cela signifie qu’en utilisant nos équations précédentes qui reliaient la norme et le sens des vecteurs aux normes de leurs composantes, nous pouvons évaluer cette somme vectorielle comme ces deux sommes scalaires qui sont généralement beaucoup plus faciles à faire.

D’accord, cela a été beaucoup de mathématiques abstraites. Mais cela en valait la peine car nous pouvons maintenant appliquer cet ensemble d’idées à n’importe laquelle de nos quantités cinétiques. Chacune des quantités qui nous intéresse peut être représentée par un vecteur.

Le déplacement est la distance d’un point de référence selon un sens donné. Donc, puisque le déplacement a une norme et un sens, nous pouvons le représenter comme un vecteur. De même, le vecteur vitesse est la vitesse pour un mouvement selon un sens donné. Donc, lui aussi a une norme et un sens et peut être représentée par un vecteur. L’accélération est le taux de variation du vecteur vitesse. Puisque le vecteur vitesse a à la fois une norme et un sens, la du vecteur vitesse peut être soit un changement de norme ou de sens, soit les deux. Ainsi, l’accélération doit contenir des informations sur la norme et le sens. Donc, elle aussi peut être représentée comme un vecteur. Enfin, la force, selon la deuxième loi de Newton, est égale à la masse multipliée par l’accélération. Nous savons que l’accélération est un vecteur. Donc, la masse, une valeur scalaire, fois un vecteur donne simplement un autre vecteur.

De plus, comme nous l’avons vu dans notre exemple d’une personne qui poussait une boîte, pour décrire complètement une force, nous devons fournir à la fois une norme et un sens. Puisque chacune de ces quantités peut être représentée par un vecteur, nous pouvons également travailler avec des combinaisons de ces quantités de la même manière que nous travaillerions avec des combinaisons de vecteurs. Voyons quelques exemples.

Une longueur de route s’étend vers le nord sur 10 kilomètres depuis la périphérie d’une ville jusqu’à ce qu’elle coupe une route qui mène vers l’est. Une voiture est en panne sur la route vers l’est. Et le déplacement de la périphérie de la ville jusqu’à la voiture a une norme de 24 kilomètres. À quelle distance vers l’est se trouve la voiture depuis l’intersection, au kilomètre près ?

Pour commencer à répondre à cette question, dessinons un schéma. Nous avons une route dans le sens du nord, une route dans le sens de l’est, une voiture en panne et une ville. Voici notre route en direction du nord, notre route en direction de l’est, notre voiture et notre ville. On nous dit que l’intersection de ces routes est à 10 kilomètres au nord de la ville. On nous dit également que la norme du déplacement entre la voiture et la ville est de 24 kilomètres. Nous devons trouver cette distance entre l’intersection et la voiture au kilomètre près.

Si nous considérons le déplacement comme un vecteur, nous pouvons voir que la distance que nous recherchons est simplement la norme de la projection horizontale du déplacement. Mais nous pouvons facilement trouver la longueur de cette composante vectorielle en appliquant le théorème de Pythagore au triangle rectangle formé par la route dans le sens du nord, la route dans le sens de l’est et le déplacement. Il s’agit d’un triangle rectangle car, par définition, le sens du nord et le sens de l’est sont perpendiculaires.

Appelons la longueur de ce segment de route dans le sens de l’est 𝑙. Ensuite, le théorème de Pythagore nous dit que 10 kilomètres carrés plus 𝑙 au carré, la somme des carrés des longueurs des bras du triangle, est égal à 24 kilomètres carrés, le carré de la longueur de l’hypoténuse. Si nous soustrayons 10 kilomètres carrés des deux côtés, 10 kilomètres carrés moins 10 kilomètres carrés sur le côté gauche font zéro. Et nous nous retrouvons avec 𝑙 carré est égal à 24 kilomètres carrés moins 10 kilomètres carrés. 24 au carré font 576, et 10 au carré font 100. Nous pouvons donc réécrire le côté droit comme 576 kilomètres carrés moins 100 kilomètres carrés. 576 moins 100 font 476, donc 𝑙 au carré est égal à 476 kilomètres carrés.

Pour trouver 𝑙, nous prenons simplement la racine carrée des deux côtés. La racine carrée des kilomètres carrés donne simplement des kilomètres. Donc 𝑙 est égal à la racine carrée de 476 kilomètres. La racine carrée de 476 est d’environ 21,8. En arrondissant au kilomètre près, nous regardons le premier chiffre à droite de la virgule, qui vaut huit. Huit est plus grand que cinq, donc on arrondit à la hausse. Donc, au kilomètre près, la distance entre la voiture en panne et l’intersection est de 22 kilomètres.

Très bien, voyons un autre exemple.

Un oiseau vole le long d’une ligne qui le déplace de 450 mètres vers l’est et de 350 mètres vers le nord depuis son point de départ, comme le montre le schéma. De quel angle l’oiseau doit-il tourner vers l’ouest pour changer de direction et voler directement vers le nord ? Donnez votre réponse au degré près.

Très bien, nous avons donc un schéma où les directions cardinales sont données de telle sorte que l’est est vers la droite et le nord est vers le haut. La ligne bleue représente le vecteur de déplacement de l’oiseau. Et les deux lignes noires représentent les composantes verticale et horizontale de ce déplacement. Comme indiqué dans la question, il s’agit respectivement de 350 mètres vers le nord et de 450 mètres vers l’est. La question nous demande de quel angle l’oiseau doit se tourner pour changer de direction et voler directement vers le nord.

Pour nous aider à déterminer cet angle, dessinons la trajectoire de l’oiseau vers le nord sur la figure. Cette ligne magenta représente une trajectoire vers le nord car elle pointe directement vers le haut. En revanche, si l’oiseau devait continuer sur sa trajectoire actuelle, il suivrait cette ligne pointillée bleue. Donc, pour changer de direction et voler directement vers le nord, l’oiseau doit se tourner de cet angle entre les deux trajectoires.

C’est l’angle que nous devons calculer. Mais comme nous ne savons rien d’autre sur les vecteurs pointillés ou magenta, essayons de trouver une autre partie de notre schéma avec le même angle. Le vecteur magenta et la composante vers le nord du déplacement pointent tous deux directement vers le nord, donc ils sont parallèles. Mais cela signifie que la trajectoire de l’oiseau est une droite coupant deux droites parallèles. Ainsi, les angles correspondants aux deux intersections ont la même valeur.

Sur notre schéma, cet angle entre la composante vers le nord du déplacement et le déplacement lui-même correspond à l’angle que nous avons dessiné auparavant, puisque ces deux angles sont à droite de l’une des droites parallèles et au-dessus de la droite du déplacement. Donc, si nous pouvons trouver la valeur de cet angle, nous aurons trouvé l’angle selon lequel l’oiseau doit se tourner.

Maintenant, rappelons qu’en additionnant les composantes horizontale et verticale d’un vecteur, nous obtenons le vecteur lui-même. Par conséquent, si nous dessinons 450 mètres vers l’est entre la tête du vecteur nord et la tête du vecteur de déplacement, nous obtiendrons un triangle rectangle formé par les deux composantes et le déplacement. Ces deux vecteurs forment un angle droit car le nord et l’est sont perpendiculaires. Appelons notre angle 𝜃.

Maintenant, rappelons que la tangente d’un angle est égale à la longueur du côté opposé divisée par la longueur du côté adjacent. Donc, tan 𝜃 est égal à 450 mètres divisé par 350 mètres. Des mètres divisés par mètres font un. Donc, le côté droit de cette équation est juste un nombre sans unité. Maintenant, nous pouvons prendre la tangente inverse des deux côtés pour trouver cet angle. En mettant sur une calculatrice 𝜃 est égal à arctan de 450 divisé par 350, nous obtenons 𝜃 comme très proche de 52,125 degrés.

Maintenant, rappelez-vous, c’est le même angle que nous cherchions pour répondre à la question. Il suffit donc d’arrondir 𝜃 au degré près. En regardant le premier chiffre à droite de la virgule, un est inférieur à cinq, donc on arrondis à la baisse. Ainsi, au degré près, l’oiseau doit tourner de 52 degrés vers l’ouest pour voler directement vers le nord.

Bon, maintenant que nous avons vu quelques exemples, passons en revue les points clés que nous avons appris dans cette leçon. Dans cette vidéo, nous avons appris qu’une description complète des grandeurs cinétiques de déplacement, de vélocité, d’accélération et de force doit inclure une norme et un sens. Cela fait des vecteurs l’objet mathématique parfait pour représenter ces quantités.

Nous avons également vu qu’un vecteur représentant n’importe laquelle de ces quantités pouvait être représenté par une somme de deux vecteurs, chacun parallèle à l’un des axes d’un système cartésien. En utilisant le théorème de Pythagore et les règles de trigonométrie pour les triangles rectangles, nous avons ensuite pu relier la norme et le sens de notre vecteur d’origine aux valeurs de ses composantes, où nous avons utilisé les mêmes symboles que les vecteurs, mais sans la demi-flèche par-dessus pour représenter la norme de chaque vecteur.

Nous avons également pu déterminer la norme des composantes en fonction de la norme et du sens du vecteur d’origine. Cela suffit à déterminer complètement les composantes car le sens de chaque composante est déjà connu. En utilisant des composantes, nous avons également converti une somme vectorielle en deux sommes scalaires, une pour chaque composante. L’utilisation de ces sommes est souvent assez facile, ce qui nous est très utile car la combinaison de deux valeurs pour la quantité cinétique peut être représentée par une addition vectorielle.

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