Vidéo question :: Calculer les dimensions d’une quantité inconnue dans une quantité composée Physique

Transcription de la vidéo

Considérons les quatre quantités 𝑔, 𝐻, 𝑚 et 𝑘, où les dimensions de 𝑔 sont la masse fois la longueur au carré fois le temps, les dimensions de 𝐻 sont la masse puissance moins un fois la longueur puissance moins trois, et les dimensions de 𝑚 sont la masse au carré fois le temps puissance moins un. La quantité composée 𝑘 fois 𝑔 fois 𝐻 sur 𝑚 est sans dimension. Quelles sont les dimensions de 𝑘?

Parmi les quatre quantités nommées ici, on nous donne les dimensions de trois d’entre elles : 𝑔, 𝐻 et 𝑚. On nous dit aussi que la quantité 𝑘 fois 𝑔 fois 𝐻 divisée par 𝑚 est sans dimension. Symboliquement, nous pouvons écrire cela comme les dimensions de 𝑘 fois 𝑔 fois 𝐻 divisé par 𝑚 est égal à un. Sachant tout cela, nous voulons résoudre les dimensions de 𝑘. Une autre façon d’écrire cette fraction est que les dimensions de 𝑘 fois les dimensions de 𝑔 fois les dimensions de 𝐻, toutes divisées par les dimensions de 𝑚. Si nous substituons toutes les dimensions connues de ces quantités, nous obtenons ce résultat. Ce que nous allons faire, c’est simplifier cette fraction autant que possible. Cela nous aidera à comprendre les dimensions de 𝑘.

Notez que dans notre numérateur, nous avons la masse multipliée par la masse puissance moins un. Lorsqu’elles sont multipliées ensemble, ces valeurs sont égales à un. De même, nous avons une longueur au carré multipliée par une longueur puissance moins trois. Le résultat global de cette opération est la longueur puissance moins un. Cela nous donne les dimensions de 𝑘 fois 𝐿 puissance moins un fois 𝑇 le tout divisé par 𝑀 au carré fois 𝑇 puissance moins un. Notez que si nous multiplions le numérateur et le dénominateur par le temps 𝑇, alors au dénominateur, 𝑇 s’annule avec un sur 𝑇. Notre résultat peut être écrit de cette façon : les dimensions de 𝑘 fois 𝐿 puissance moins un fois 𝑇 au carré sur 𝑀 au carré.

Rappelons maintenant que ce produit de droite est égal à un. C’est pourquoi, les dimensions de 𝑘, quelles qu’elles soient, doivent pratiquement annuler ces dimensions. Cela signifie que les dimensions de 𝑘 sont égales à l’inverse de ces dimensions. Ainsi, les dimensions de 𝑘 sont 𝑀 au carré divisé par 𝐿 puissance moins un fois 𝑇 au carré. Cela équivaut à 𝑀 au carré fois 𝐿 le tout divisé par 𝑇 au carré. Par conséquent, dans notre expression sans dimension, 𝑘 fois 𝑔 fois 𝐻 divisé par 𝑚, les dimensions de 𝑘, sont 𝑀 au carré fois 𝐿 divisé par 𝑇 au carré.