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Vidéo de question : Simplifier des fonctions rationnelles et déterminer leur ensemble de définition Mathématiques

Simplifiez la fonction d’expression 𝑓 (𝑥) = (7𝑥² + 43𝑥 + 6) / (7𝑥² + 50𝑥 + 7) et déterminez son ensemble de définition.

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Transcription de vidéo

Simplifiez la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 égal sept 𝑥 au carré plus 43𝑥 plus six sur sept 𝑥 au carré plus 50𝑥 plus sept et déterminez son ensemble de définition.

Afin de simplifier la fonction, nous devons factoriser le numérateur et le dénominateur, puis chercher les facteurs communs. Une erreur courante ici serait d’éliminer le sept 𝑥 au carré présent au numérateur et au dénominateur de notre fonction. Nous pouvons prouver que ceci serait faux en considérant un exemple numérique.

Imaginez que nous ayons la fraction sept plus trois sur sept plus cinq. Elle équivaut à 10 sur 12, ce qui se simplifie par cinq sur six. Si nous avions essayé d’éliminer les sept, il nous resterait trois sur cinq, ce qui est bien sûr différent de cinq sur six.

Voyons maintenant comment nous pouvons factoriser le numérateur de notre fonction. Le numérateur est écrit sous la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐. Une manière de factoriser une expression du second degré de ce type est d’abord d’essayer de trouver une paire de nombres dont le produit est égal à 𝑎 multiplié par 𝑐 et dont la somme vaut 𝑏. Dans ce cas, nous avons besoin de deux nombres dont le produit est égal à sept fois six soit 42 et dont la somme est 43. Il y a quatre paires de facteurs pour 42 : 42 et un, 21 et deux, 14 et trois et sept et six. La seule paire de facteurs dont la somme est égale à 43 est 42 et un. Cela signifie que nous pouvons réécrire 43𝑥 comme 42𝑥 plus 𝑥 ou plus un 𝑥.

Notre prochaine étape consiste à déterminer le plus grand diviseur commun des deux premiers termes, puis à recommencer avec les deux derniers termes. Le plus grand diviseur commun de sept 𝑥 au carré et de 42𝑥 est sept 𝑥. En factorisant par sept 𝑥, nous obtenons sept 𝑥 facteur de 𝑥 plus six. Le seul facteur commun à un 𝑥 et à six est un. Ainsi, ceci peut être réécrit comme un facteur de 𝑥 plus six.

Nous remarquons que le facteur 𝑥 plus six est commun aux deux termes de cette expression. Comme nous multiplions 𝑥 plus six par sept 𝑥 puis par un, cela peut être réécrit comme sept 𝑥 plus un facteur de 𝑥 plus six. Nous pouvons factoriser le dénominateur en utilisant la même méthode. Ainsi, sept 𝑥 au carré plus 50𝑥 plus sept est égal à sept 𝑥 plus un facteur de 𝑥 plus sept. Cela signifie que 𝑓 de 𝑥 est égal à sept 𝑥 plus un facteur de 𝑥 plus six sur sept 𝑥 plus un facteur de 𝑥 plus sept. Nous pouvons simplifier le numérateur et le dénominateur par sept 𝑥 plus un. Ainsi, sous sa forme irréductible la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 vaut 𝑥 plus six sur 𝑥 plus sept.

Nous allons maintenant libérer de l’espace afin de trouver l’ensemble de définition de la fonction. Nous savons que toute expression fractionnaire n’est pas définie lorsque son dénominateur est égal à zéro. Cela signifie que toute valeur qui annule le dénominateur ne sera pas dans l’ensemble de définition. Nous avons établi dans la première partie de la question que sept 𝑥 au carré plus 50𝑥 plus sept était égal à sept 𝑥 plus un facteur de 𝑥 plus sept. Poser cette expression comme étant égale à zéro signifie que sept 𝑥 plus un est égal à zéro ou que 𝑥 plus sept est égal à zéro.

Nous pouvons soustraire un à chaque membre de la première équation pour obtenir que sept 𝑥 égal moins un. En divisant les deux membres par sept, nous obtenons que 𝑥 égal moins un septième. Pour notre seconde équation, nous devons soustraire sept aux deux membres. Cela nous donne 𝑥 égal moins sept. Remplacer 𝑥 par moins un septième ou par moins sept au dénominateur donne un résultat nul.

Comme l’ensemble de définition est l’ensemble des antécédents 𝑥 qui ont une image par notre fonction 𝑓, l’ensemble de définition est égal à l’ensemble de tous les nombres réels à l’exception de moins un septième et de moins sept. Cela peut être écrit avec la notation d’ensemble comme indiqué.

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