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Étant donné que 𝐿 et 𝑀 sont les racines de l’équation deux 𝑥 au carré moins 10𝑥 plus un égal à zéro, déterminez, sous sa forme la plus simple, l’équation du second degré dont les racines sont 𝐿 sur trois et 𝑀 sur trois.
Nous commençons par rappeler quelques points clés sur les équations du second degré écrites sous la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égal zéro, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes et 𝑎 est non nul. Si les deux racines de l’équation du second degré sont 𝑟 indice un et 𝑟 indice deux, leur somme est égale à moins 𝑏 sur 𝑎. Le produit des deux racines, 𝑟 un multiplié par 𝑟 deux, est égal à 𝑐 sur 𝑎.
Dans cette question, on nous donne l’équation deux 𝑥 au carré moins 10𝑥 plus un égal zéro. Les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont ici deux, moins 10 et un. On nous dit aussi que 𝐿 et 𝑀 sont les deux racines de l’équation. Par conséquent, leur somme, 𝐿 plus 𝑀, est égale à moins moins 10 sur deux. Cela donne cinq. Le produit des racines 𝐿 multiplié par 𝑀 est égal à un sur deux soit, un demi. Nous pouvons maintenant utiliser ces valeurs pour aider à déterminer l’équation du second degré dont les racines sont 𝐿 sur trois et 𝑀 sur trois.
Commençons par considérer la somme de ces racines. Nous avons 𝐿 sur trois plus 𝑀 sur trois. Comme les dénominateurs sont les mêmes, nous pouvons simplement ajouter les numérateurs, ce qui nous donne 𝐿 plus 𝑀 sur trois. Nous avons déjà déterminé que 𝐿 plus 𝑀 est égal à cinq. Cela signifie que la somme des racines est égale à cinq sur trois soit, cinq tiers. Moins 𝑏 sur 𝑎 est égal à cinq tiers.
Nous allons maintenant considérer le produit de nos deux racines. Nous devons multiplier 𝐿 sur trois et 𝑀 sur trois. Nous le faisons en multipliant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, ce qui nous donne 𝐿𝑀 sur neuf. Comme 𝐿𝑀 est égal à un demi, nous avons un demi sur neuf soit, un demi divisé par neuf. Cela est égal à un dix-huitième. Le produit de nos racines 𝑐 sur 𝑎 est égal à un dix-huitième.
Nous pouvons maintenant résoudre ces deux équations pour trouver les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Nous notons que les dénominateurs du membre de droite sont différents. Cependant, sur le membre de gauche de chacune de nos deux équations, le dénominateur est 𝑎. Nous pouvons donc multiplier le numérateur et le dénominateur du membre de droite de notre première équation par six. Cinq sur trois soit, cinq tiers, est égal à 30 sur 18.
Notre prochaine étape est de poser 𝑎 égal 18. D’après la première équation, cela signifie que moins 𝑏 est égal à 30, c’est à dire que 𝑏 est égal à moins 30. D’après la seconde équation, si 𝑐 sur 𝑎 est égal à un sur 18 et 𝑎 est égal à 18, alors 𝑐 doit être égal à un. Sous sa forme la plus simple, l’équation du second degré dont les racines sont 𝐿 sur trois et 𝑀 sur trois est 18𝑥 au carré moins 30𝑥 plus un égal zéro.