Transcription de la vidéo
La variation du vecteur vitesse de deux objets avec le temps est illustrée par le graphique. Les deux objets ont-ils la même vitesse ? Les deux objets ont-ils été déplacés à égale distance de leurs positions initiales ?
En regardant notre graphique, nous voyons qu’il nous montre le vecteur vitesse de deux objets, nous les appellerons l’objet rouge et l’objet bleu, en fonction du temps. Nous voyons également ces deux lignes horizontales en pointillés. Et nous voyons que l’objet rouge commence à la ligne pointillée supérieure et se termine à la ligne inférieure, tandis que l’objet bleu commence à la ligne inférieure et se termine à la ligne supérieure. Parallèlement à cela, les lignes rouge et bleue coupent tous les deux l’axe du temps à la même valeur de temps.
Alors, il y a quelque chose d’intéressant que nous pouvons découvrir sur ces deux lignes en pointillés. Parce que nos objets rouge et bleu commencent à se déplacer à la même valeur de temps, puis ils terminent leur mouvement à la même valeur de temps et parce qu’ils coupent l’axe des temps au même point, comme nous l’avons vu, tout cela ensemble signifie que le la distance, on pourrait dire, de notre ligne pointillée supérieure de l’axe des temps est la même que la distance entre l’axe des temps et la ligne pointillée inférieure. En d’autres termes, ces deux droites sont à la même distance au-dessus et au-dessous de notre axe horizontal.
Sachant cela, considérons maintenant notre première question. Est-ce que les deux objets, le rouge et le bleu, ont la même vitesse ?
Alors, notre graphique ne nous montre pas la vitesse en fonction du temps, mais il nous montre le vecteur vitesse en fonction du temps. Et nous pouvons nous rappeler que la vitesse et le vecteur vitesse sont liés. La norme du vecteur vitesse d’un objet est égale à sa vitesse v. À partir de cette équation, nous pouvons voir ce que nous ferions mathématiquement pour passer du vecteur d’un objet à sa vitesse. Nous prendrions la valeur absolue de son vecteur vitesse.
Appliquons donc maintenant cette idée à notre graphique. Commençons par le mouvement de l’objet rouge représenté par cette droite rouge. Nous savons que cette droite représente le vecteur vitesse de cet objet, mais nous voulons savoir quelle est sa vitesse. Nous allons donc prendre la valeur absolue de la vitesse de l’objet rouge, ce qui signifie que toutes les valeurs de cette vitesse qui sont déjà positives resteront les mêmes - elles resteront telles quelles - mais toutes les valeurs qui sont négatives, telles que toutes ces valeurs de vecteur vitesse ici, deviendront positives. Cela se produit en réfléchissant cette partie de la droite rouge autour de l’axe des temps.
Si nous représentions cela par une ligne pointillée, cela ressemblerait à ceci. Rappelez-vous que nous n’avons pas changé l’amplitude du vecteur vitesse, mais seulement son signe. Nous l’avons changé de négatif en positif de sorte que maintenant c’est une vitesse. Ainsi, alors que le vecteur vitesse de l’objet rouge ressemble à ceci en fonction du temps, la vitesse de l’objet rouge ressemble à ceci. Et c’est parce que, comme nous l’avons vu, la vitesse est toujours positive, alors que le vecteur vitesse peut être négatif.
Ensuite, réfléchissons au mouvement de l’objet bleu. Tout comme avec l’objet rouge, nous prendrons la valeur absolue du vecteur vitesse de l’objet bleu pour déterminer sa vitesse. Et encore une fois, cela signifie laisser toutes les valeurs positives telles quelles mais refléter les valeurs de vecteur vitesse négatives autour de l’axe des temps. Cela signifie que toute cette partie de la droite bleue sera réfléchie autour de cet axe horizontal. Représentant à nouveau ce reflet avec une ligne pointillée, elle ressemblerait à ceci.
Nous voyons alors que si le vecteur vitesse de l’objet bleu ressemble à ceci au fil du temps, la vitesse de ce même objet ressemble à ceci. Et maintenant, nous sommes en mesure de répondre à cette question de savoir si les deux objets ont la même vitesse. Graphiquement, la vitesse de l’objet rouge dans le temps va comme ceci, et la vitesse de l’objet bleu dans le temps va aussi comme ça ; elles se superposent. À tout moment, ils ont tous les deux la même vitesse. Et donc nous répondons oui à cette question.
Finalement, considérons la question numéro deux. Ces deux objets ont-ils été déplacés à égale distance de leurs positions initiales ?
Pour commencer à comprendre cela, nous pouvons rappeler que la vitesse d’un objet v est égale à la distance parcourue divisée par le temps nécessaire pour parcourir cette distance. Cela signifie que si nous multiplions les deux côtés de cette expression par le temps 𝑡, ce terme s’annule à droite. Et nous voyons que la distance parcourue par un objet est égale à la vitesse à laquelle il parcourt cette distance multipliée par le temps nécessaire pour la déplacer.
Ce que nous voulons maintenant faire est de déterminer si nos objets rouge et bleu se sont déplacés à égale distance de leurs positions initiales. Puisque nous parlons spécifiquement de distances ici, et non de déplacements, nous voudrons nous concentrer non pas sur les vecteurs vitesse de nos objets, mais plutôt sur leurs vitesses. Donc, concernant cette question, nous allons négliger ces parties négatives de ces lignes rouges et bleues. Ces parties représentent des vecteurs vitesse parfaitement valables, mais encore une fois, pour cette partie de la question, nous nous concentrons sur les vitesses et les distances. Toutes les actions en ce qui concerne cela se déroule pour des valeurs non négatives.
Ensuite, notre équation nous dit que si nous prenons la vitesse de nos objets à une certaine valeur de temps et que nous multiplions cette vitesse par ce temps, cela nous indique la distance parcourue par l’objet. Cela nous indique que si nous allons sur nos lignes bleue et rouge, celles qui représentent la vitesse de l’objet, nous pourrions déterminer la distance totale parcourue par ces deux objets en multipliant ensemble les différentes paires de vitesse et de temps correspondantes le long de ces deux lignes.
Graphiquement, cela équivaudrait à calculer l’aire sous cette partie de notre courbe de vitesse, puis à l’ajouter à l’aire sous cette partie de notre courbe. Ces deux aires combinées représenteraient la distance totale parcourue par nos objets à partir de leurs positions initiales.
Néanmoins, nous n’avons pas les valeurs exactes dont nous aurions besoin pour calculer cette distance, mais à partir de nos lignes bleues et rouges représentant les vitesses des objets, nous pouvons voir que ces distances seraient les mêmes pour chacun d’eux. C’est-à-dire que l’aire sous la courbe de vitesse rouge est la même que l’aire sous la courbe de vitesse bleue. Et par conséquent, leur distance totale parcourue est la même. C’est parce que ces courbes se superposent. Nous pouvons donc répondre oui à la deuxième question également. Les deux objets se sont déplacés à des distances égales de leurs positions initiales.