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Vidéo question :: Applications des suites géométriques Mathématiques • Deuxième année secondaire

Un homme a envoyé un message à deux de ses amis, et chacun d’eux a ensuite envoyé le même message à deux autres amis et ainsi de suite. Déterminez le nombre de personnes qui ont reçu le message à la sixième fois qu’il a été envoyé sachant que chaque personne a reçu le message une seule fois.

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Transcription de la vidéo

Un homme a envoyé un message à deux de ses amis, et chacun d’eux a ensuite envoyé le même message à deux autres amis et ainsi de suite. Déterminez le nombre de personnes qui ont reçu le message à la sixième fois qu’il a été envoyé sachant que chaque personne a reçu le message une seule fois..

Voyons ce qui se passe ici. La toute première fois, deux personnes ont reçu le message. Ensuite, chaque personne a envoyé le même message à deux de ses amis. Cela signifie que deux fois deux ou quatre personnes ont reçu le message la deuxième fois. Ensuite, chacune de ces quatre personnes a envoyé le message à deux de leurs amis, ce qui signifie que huit personnes ont reçu le message la troisième fois. Nous pourrions continuer cette démarche, en multipliant chaque valeur par deux pour calculer le nombre de personnes qui reçoivent le message à chaque fois. En fait, nous cherchons à trouver le nombre de personnes qui ont reçu le message la sixième fois. Nous pourrions donc continuer ainsi jusqu’à ce que nous arrivions au sixième terme.

Cependant, si nous regardons très attentivement, nous voyons que nous avons un type spécial de suite. Nous appelons cette suite une suite géométrique. C’est une suite où chaque terme est trouvé en multipliant le terme précédent par une valeur fixe. Et nous appelons cette valeur fixe la raison. Dans ce cas, si nous définissons 𝑎 comme égal au premier terme, soit deux, et 𝑟 comme égal à la raison, c’est aussi deux, nous rappelons que nous pouvons utiliser le terme de rang 𝑛 d’une suite géométrique pour trouver n’importe quel terme dans la suite. C’est 𝑎 indice 𝑛 égale 𝑎 fois 𝑟 à la puissance 𝑛 moins un.

Nous voulons trouver le nombre de personnes qui ont reçu le message la sixième fois, nous allons donc poser 𝑛 égal à six. Le sixième terme est alors 𝑎 indice six. Et on le trouve en multipliant le premier terme, deux, par la raison à la puissance 𝑛 moins un. Donc, cela fait deux à la puissance six moins un. C’est deux fois deux à la puissance cinq. Ensuite, nous pouvons utiliser les règles des puissances. Et nous voyons que deux à la puissance un fois deux à la puissance cinq est deux à la puissance un plus cinq ou deux à la puissance six. Et bien sûr, deux à la puissance six vaut 64. Donc, nous pouvons constater que le nombre de personnes qui ont reçu le message la sixième fois doit être 64.

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