Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer la norme des vecteurs en deux
dimensions. Nous commencerons par rappeler quelques notions clés sur les vecteurs. Tout vecteur a deux caractéristiques, sa direction et sa norme. La norme d’un vecteur est sa longueur ou la distance entre les deux points qui le
définissent. Il y a trois façons principales pour exprimer des vecteurs en 2D : comme vecteur
colonne, d’une manière semblable à une coordonnée ou le décomposer selon les
composantes en 𝐢 et 𝐣. Chacun de ces trois vecteurs représente la même chose.
Nous désignons la norme du vecteur 𝐯 en utilisant une paire des barres verticales
parallèles de chaque côté. Nous utilisons le théorème de Pythagore pour la calculer. La norme du vecteur 𝐯 est égale à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré,
où 𝑎 et 𝑏 sont les valeurs cinq et deux dans ce cas. La première question consiste à trouver la norme d’un vecteur représenté sur un
quadrillage.
Le vecteur 𝐯 est représenté sur le quadrillage ci-dessous. Trouvez la valeur de la norme de 𝐯.
Nous savons que la norme de tout vecteur est sa longueur. En créant un triangle rectangle sur le quadrillage, nous pouvons voir que le vecteur
s’est déplacé de quatre unités vers la droite et de trois unités vers le haut. La norme du vecteur 𝐯 peut donc être trouvée en utilisant le théorème de
Pythagore. D’après ce théorème, la longueur de l’hypoténuse est égale à la somme des carrés des
deux côtés les plus courts. La norme de 𝐯 est donc égale à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.
Bien que peu importe l’ordre dans lequel nous substituons les quatre et les trois,
nous commençons généralement par la composante horizontale. Quatre au carré est égal à 16 et trois au carré est égal à neuf. La norme du vecteur 𝐯 est égale à la racine carrée de 25. Comme 25 est un carré parfait, nous pouvons calculer la racine carrée. La racine carrée de 25 est égale à plus ou moins cinq. Comme il s’agit d’une longueur, la réponse doit être positive. Par conséquent, la norme du vecteur 𝐯 représenté sur le quadrillage est de cinq.
Nous allons maintenant examiner quelques questions où nous devons calculer la norme
d’un vecteur exprimé sous différentes formes.
Quelle est la norme du vecteur cinq, 12 ?
Nous savons que pour tout vecteur écrit sous la forme 𝑎, 𝑏, la norme est égale à la
racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Comme la norme est la longueur du vecteur, cela peut être représenté sur un
quadrillage. Considérons le vecteur 𝐯 comme illustré. Si ce vecteur a parcouru une distance 𝑎 horizontalement et 𝑏 verticalement, nous
pouvons tracer un triangle rectangle. En utilisant le théorème de Pythagore, le carré de l’hypoténuse est égal à 𝑎 au
carré plus 𝑏 au carré. Cela signifie que la longueur du vecteur sera égale à la racine carrée de 𝑎 au carré
plus 𝑏 au carré.
Dans cette question, les deux composantes du vecteur sont cinq et 12. Nous pouvons donc calculer sa norme en trouvant la racine carrée de cinq au carré
plus 12 au carré. Cinq au carré est égal à 25 et 12 au carré est égal à 144. Cela signifie que la norme du vecteur 𝐯 est la racine carrée de 169. Comme la réponse doit être positive, la norme du vecteur 𝐯 est 13.
Étant donné que le vecteur 𝐀 est égal à moins cinq 𝐢 moins trois 𝐣, où 𝐢 et 𝐣
sont des vecteurs unitaires orthogonaux, calculez la norme du vecteur 𝐀.
Nous pouvons commencer par représenter ce vecteur sur un repère où 𝐢 et 𝐣 sont des
vecteurs unitaires orthogonaux. Le vecteur 𝐀 se déplace d’une distance de moins cinq dans la direction 𝐢 et d’une
distance de moins trois dans la direction 𝐣. Le vecteur 𝐀 peut donc être tracé comme indiqué. Comme la norme d’un vecteur est sa longueur, nous pouvons le calculer en traçant un
triangle rectangle comme indiqué. La norme de tout vecteur 𝐯 peut donc être calculée en utilisant le théorème de
Pythagore, où la norme est égale à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au
carré.
Les lettres minuscules 𝑎 et 𝑏 sont respectivement les composantes 𝐢 et 𝐣. Par conséquent, la norme du vecteur 𝐀 est égale à la racine carrée de moins cinq au
carré plus moins trois au carré. Le carré d’un nombre négatif donne une réponse positive. Ainsi, la racine carrée de moins cinq est 25, et la racine carrée de moins trois est
neuf. Cela signifie que la norme du vecteur 𝐀 est égale à la racine carrée de 34. Comme 34 n’est pas un carré parfait, nous pouvons laisser notre réponse sous forme de
racine carrée ou de radical. Si le vecteur 𝐀 est égal à moins cinq 𝐢 moins trois 𝐣, alors sa norme est égale à
la racine carrée de 34.
La prochaine question consiste à trouver la norme d’un vecteur entre deux points.
Quelle est la norme du vecteur 𝐀𝐁 où 𝐴 a pour coordonnées 11, trois et 𝐵 a pour
coordonnées sept, trois ?
La norme d’un vecteur est sa longueur ou la distance entre les deux points qui le
définissent. Donc, dans ce cas, nous devons trouver la distance ou la longueur entre le point 𝐴
et le point 𝐵. Il existe plusieurs façons d’aborder ce problème, nous en examinerons deux. La première méthode sera graphiquement, et nous commencerons par tracer les deux
points. Le point 𝐴 a pour coordonnées 11, trois. Le point 𝐵 a pour coordonnées sept, trois. Comme les deux points ont la même ordonnée, la distance de 𝐴 à 𝐵 sera une distance
horizontale. Pour passer de 11 à sept, nous devons soustraire quatre. Comme la norme de tout vecteur doit être positive, la norme de 𝐀𝐁 est égale à
quatre.
Nous aurions également pu calculer la distance entre le point 𝐴 et le point 𝐵 en
utilisant l’une des formules de géométrie analytique. La distance entre deux points quelconques est égale à la racine carrée de 𝑥 un moins
𝑥 deux au carré plus 𝑦 un moins 𝑦 deux au carré, où nos deux points ont pour
coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux. La substitution dans nos valeurs nous donne 𝑑 est égal à la racine carrée de 11
moins sept au carré plus trois moins trois au carré.
Peu importe quelle coordonnée est 𝑥 un, 𝑦 un et laquelle est 𝑥 deux, 𝑦 deux. 11 moins sept est égal à quatre et trois moins trois est égal à zéro. Comme zéro au carré est égal à zéro, 𝑑 est égal à la racine carrée de quatre au
carré. Comme la distance doit être positive, elle est égale à quatre. Encore une fois, nous avons trouvé que la norme du vecteur 𝐀𝐁 est de quatre.
La dernière question consiste à trouver la norme de deux vecteurs distincts et leur
somme.
On considère les vecteurs 𝐮 de composantes deux, trois et 𝐯 de composantes quatre,
six. Quelle est la norme du vecteur 𝐮 ? Quelle est la norme du vecteur 𝐯 ? Quelle est la norme du vecteur 𝐮 plus le vecteur 𝐯 ? Dans les trois questions, nous devons donner la réponse au centième près si
possible.
On rappelle que la norme de tout vecteur 𝐰 peut être trouvée en déterminant la
racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré, où 𝑎 et 𝑏 sont les deux composantes
du vecteur. Pour le vecteur 𝐮, 𝑎 est égal à deux et 𝑏 est égal à trois. Alors que pour le vecteur 𝐯, 𝑎 est égal à quatre et 𝑏 est égal à six. La norme du vecteur 𝐮 est donc égale à la racine carrée de deux au carré plus trois
au carré. Comme deux au carré est égal à quatre et trois au carré est égal à neuf, la norme du
vecteur 𝐮 est égale à la racine carrée de 13. Nous laissons souvent le résultat sous forme de racine carrée ou de radical. Cependant, dans ce cas, on nous demande de donner notre réponse au centième près. La racine carrée de 13 est égale à 3,605 551 et ainsi de suite.
Pour arrondir la réponse au centième près, notre clé ou nombre décisif sera le
premier cinq. Cela complètera notre réponse. La norme du vecteur 𝐮 au centième près est 3,61. Nous pouvons répéter ce processus pour calculer la norme du vecteur 𝐯. Quatre au carré est égal à 16 et six au carré est égal à 36. Par conséquent, la norme du vecteur 𝐯 est la racine carrée de 52. La saisie de ce nombre dans la calculatrice nous donne 7,211 102 et ainsi de
suite. Cette fois, notre nombre décisif est un. Comme il est strictement inférieur à cinq, nous allons arrondir par défaut. La norme du vecteur 𝐯 est donc égale à 7,21.
La dernière partie de notre question nous demande de déterminer la norme de 𝐮 plus
𝐯. La première étape ici sera de calculer le vecteur 𝐮 plus 𝐯. Nous le faisons en ajoutant les composantes correspondantes. Deux plus quatre est égal à six et trois plus six est égal à neuf. On peut alors calculer la norme de 𝐮 plus 𝐯 de la même manière. C’est égal à la racine carrée de six au carré plus neuf au carré. Six au carré est égal à 36 et neuf au carré est égal à 81. Par conséquent, la norme de 𝐮 plus 𝐯 est égale à la racine carrée de 117. La saisie de ce nombre dans la calculatrice nous donne 10,816 653. Le nombre décisif ici est un six, et lorsqu’il s’agit d’un nombre quelconque
supérieur à cinq, nous arrondissons par excès. La norme de 𝐮 plus 𝐯 est égale à 10,82.
En observant les trois réponses, vous pourriez penser que vous avez repéré un modèle,
car 3,61 plus 7,21 est égal à 10,82. Cela indique que la norme de 𝐮 plus 𝐯 est égale à la norme de 𝐮 plus la norme de
𝐯. Ce n’est cependant pas un cas à généraliser. La seule raison pour laquelle c’est correct dans cette question est que le vecteur 𝐯
est en fait un multiple du vecteur 𝐮. Deux multiplié par deux est égal à quatre. Et trois multiplié par deux est égal à six.
Par conséquent, le vecteur 𝐯 est en fait deux fois ou le double du vecteur 𝐮. Cela signifie à son tour que la norme du vecteur 𝐯 est le double de la norme du
vecteur 𝐮. La racine carrée de 52 est égale à deux racine de 13. La norme de 𝐮 plus 𝐯 dans cette question devient trois fois la norme du vecteur
𝐮. Il est important de noter, cependant, comme mentionné précédemment, que cela ne
s’appliquera pas à la majorité des questions portant sur les vecteurs.
Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. La norme d’un vecteur est sa longueur. Nous pouvons calculer la norme de tout vecteur en deux dimensions en utilisant le
théorème de Pythagore. La norme du vecteur 𝐯 est égale à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré,
où 𝑎 et 𝑏 sont les deux composantes du vecteur. Alors que la réponse est généralement écrite comme une racine carrée ou un radical,
nous pouvons calculer la valeur décimale.
Enfin, nous avons découvert que dans la majorité des cas, la norme du vecteur 𝐮 plus
le vecteur 𝐯 n’est pas égale à la norme du vecteur 𝐮 plus la norme du vecteur
𝐯. Tout ce que nous avons vu dans cette vidéo peut également être appliqué à des
vecteurs en trois dimensions. Ces vecteurs seraient exprimés sous la forme 𝑎, 𝑏, 𝑐, le vecteur colonne 𝑎, 𝑏,
𝑐 ou 𝑎𝐢 plus 𝑏𝐣 plus 𝑐𝐤.