Transcription de la vidéo
Laquelle des propriétés suivantes des opérations vectorielles est incorrecte ? Est-ce l’option (A), le vecteur 𝐚 plus le vecteur 𝐛 est égal au vecteur 𝐛 plus le vecteur 𝐚 ? Est-ce l’option (B), le vecteur 𝐚 ajouté à la somme des vecteurs 𝐛 et 𝐜 est égal à la somme des vecteurs 𝐚 et 𝐛 ajouté au vecteur 𝐜 ? Est-ce l’option (C), le vecteur 𝐚 plus le vecteur nul est égal au vecteur 𝐚 ? Est-ce l’option (D), le scalaire 𝑐 plus 𝑑 multiplié par le vecteur 𝐚 est égal à 𝑐 fois 𝑑 multiplié par le vecteur 𝐚 ? Est-ce l’option (E), le vecteur 𝐚 ajouté au vecteur négatif 𝐚 est égal au vecteur nul ?
Dans cette question, on nous donne cinq déclarations qui sont des propriétés potentielles de différentes opérations vectorielles. Nous devons déterminer laquelle des cinq options données est fausse. Il y a plusieurs façons de la repérer. La plus simple est de rappeler toutes les propriétés des opérations vectorielles.
Tout d’abord, nous pouvons rappeler que l’addition de vecteurs est commutative. Cela signifie que pour deux vecteurs quelconques 𝐚 et 𝐛 de même dimension, 𝐚 plus 𝐛 est égal à 𝐛 plus 𝐚. Il s’agit d’une propriété donnée par l’option (A). Ensuite, nous pouvons également rappeler que l’addition de vecteur est associative. Cela signifie que pour trois vecteurs de même dimension, 𝐚, 𝐛 et 𝐜, nous avons 𝐚 plus la somme de 𝐛 et 𝐜 est égal à la somme de 𝐚 et 𝐛 ajoutée au vecteur 𝐜. En d’autres termes, nous pouvons ajouter les vecteurs dans l’ordre que nous voulons. Il s’agit de la propriété donnée par l’option (B).
Ensuite, nous pouvons également rappeler que l’ajout du vecteur nul à n’importe quel vecteur de même dimension ne changera pas sa valeur. En d’autres termes, pour tout vecteur 𝐚 et pour le vecteur nul de même dimension, 𝐚 plus le vecteur nul est égal à 𝐚. Nous appelons le vecteur nul l’identité additive de la somme vectorielle. Par conséquent, l’option (C) est également une propriété correcte des opérations vectorielles.
Enfin, nous pouvons également rappeler la propriété inverse additive de la somme vectorielle. Elle indique que pour tout vecteur 𝐚, 𝐚 ajouté à moins 𝐚 sera égal au vecteur nul. Cela suffit pour répondre à notre question si nous supposons que l’une des options données est fausse.
Cependant, afin de rester complet, montrons également que cette propriété n’est pas vraie. Nous ferons cela avec un exemple. Fixons 𝑐 égal à un, 𝑑 égal à trois et 𝐚 égal au vecteur un, zéro. Nous pouvons maintenant évaluer chaque côté de l’équation séparément. Commençons par 𝑐 plus 𝑑 multiplié par 𝐚. Cela donne un plus trois fois le vecteur un, zéro. Un plus trois est égal à quatre. Rappelez-vous, pour multiplier un vecteur par un scalaire, nous multiplions toutes les composantes du vecteur par le scalaire. Cela nous donne le vecteur quatre fois un, zéro. Quatre fois un donne quatre. Le résultat donne le vecteur quatre, zéro.
Faisons maintenant la même chose pour le côté droit de cette équation. Nous obtenons 𝑐 fois 𝑑 multiplié par le vecteur 𝐚 est égal à une fois trois fois le vecteur un, zéro. Cette fois, nous avons un fois trois est égal à trois. Maintenant, nous devons multiplier chacune des composantes de notre vecteur par la valeur scalaire de trois. Cela nous donne alors le vecteur trois, zéro. Nous pouvons alors voir que ce n’est pas la même chose que l’autre vecteur.
Par conséquent, pour ces valeurs de 𝑐, 𝑑 et le vecteur 𝐚, nous avons pu montrer que 𝑐 plus 𝑑 fois le vecteur 𝐚 n’est pas égal à 𝑐 fois 𝑑 fois le vecteur 𝐚. En d’autres termes, seule la propriété donnée dans l’option (D) n’est pas une propriété des opérations vectorielles.