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Vidéo question :: Déterminer une inconnue présente dans une fonction rationnelle connaissant son ensemble de définition Mathématiques • Troisième préparatoire

Si l’ensemble de définition de la fonction d’expression 𝑓 (𝑥) = −5 / 𝑥² - 8𝑥 + 𝑘 est ℝ - {4}, déterminez la valeur de 𝑘.

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Transcription de la vidéo

Si l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 de 𝑥 égal moins cinq sur 𝑥 au carré moins huit 𝑥 plus 𝑘 est l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble constitué de l’élément quatre, déterminez la valeur de 𝑘.

Pour répondre à cette question, commençons par examiner l’expression 𝑓 de 𝑥 de la fonction. 𝑓 de 𝑥 est en fait l’expression d’une fonction rationnelle. En effet, en supposant que 𝑘 est une constante, l’ensemble est égal au quotient de deux polynômes. Nous savons que l’ensemble de définition d’une fonction rationnelle est l’ensemble de tous les nombres réels. Mais nous devons exclure toutes les valeurs de 𝑥 qui rendent le dénominateur nul. En comparant cela à l’ensemble de définition de la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥, l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble constitué de l’élément quatre, on peut en déduire que cet élément quatre et donc cette valeur de 𝑥 doit annuler le dénominateur. En d’autres termes, si 𝑥 est égal à quatre, 𝑥 au carré moins huit 𝑥 plus 𝑘 doit être égal à zéro.

Ainsi, nous pouvons remplacer 𝑥 par quatre dans cette expression et la poser comme étant nulle afin de déterminer 𝑘. En remplaçant 𝑥 par quatre, nous obtenons quatre au carré moins huit fois quatre plus 𝑘 égal zéro. C’est 16 moins 32 plus 𝑘 égal zéro soit moins 16 plus 𝑘 égal zéro. Pour déterminer 𝑘, nous devons ajouter 16 aux deux membres de notre équation. Et lorsque nous le faisons, nous trouvons 𝑘 égal 16. Par conséquent, étant donné les informations dont nous disposons sur le domaine de définition de la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥, nous pouvons déterminer que la valeur 𝑘 est égale à 16.

Maintenant, nous pouvons en fait vérifier notre réponse en remplaçant 𝑘 par 16 dans l’expression du dénominateur. Posons-le comme étant égal à zéro. Ainsi, 𝑥 au carré moins huit 𝑥 plus 16 égal zéro. Pour résoudre cette équation et ainsi déterminer les valeurs de 𝑥 que nous devons exclure de l’ensemble de définition de notre fonction, nous factorisons le membre de gauche. Ceci nous donne que 𝑥 moins quatre facteur de 𝑥 moins quatre égal zéro. Et ceci signifie qu’il n’y a qu’une seule solution. C’est la solution à l’équation 𝑥 moins quatre égal zéro, qui est 𝑥 égal quatre. Nous avons dit que c’était la valeur de 𝑥 que nous devions exclure du domaine de définition de la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥. Nous avons donc vérifier notre critère. Et ainsi, 𝑘 égal 16.

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