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Vidéo question :: Trouver les puissances de nombres complexes sous forme polaire Mathématiques • Troisième année secondaire

Etant donné 𝑧 = 2√3 (cos 240 ° + 𝑖 sin 240°), déterminez 𝑧² sous forme exponentielle.

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Transcription de la vidéo

Etant donné 𝑧 égale deux racine de trois multiplié par cosinus de 240 degrés plus 𝑖 sinus de 240 degrés, déterminez 𝑧 au carré sous forme exponentielle.

On nous donne actuellement un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique. Et nous cherchons à trouver 𝑧 au carré sous forme exponentielle. Il y a deux façons de procéder. Nous pouvons déterminer 𝑧 au carré sous forme trigonométrique, puis le convertir en forme exponentielle. Ou nous pouvons d’abord le convertir en forme exponentielle, puis calculer la valeur de 𝑧 au carré. Considérons ces deux méthodes.

Et pour mettre ce nombre complexe au carré, nous rappelons la formule de Moivre. Cela dit, pour un nombre complexe sous forme trigonométrique 𝑟 cosinus thêta plus 𝑖 sinus thêta, ce nombre complexe à la puissance 𝑛 est donné par 𝑟 à la puissance 𝑛 multiplié par cosinus 𝑛 thêta plus 𝑖 sinus 𝑛 thêta. Et dans cet exemple, 𝑛 est un entier naturel.

Nous pouvons voir que le module de notre nombre complexe 𝑧 est deux racine de trois. Et thêta, son argument est 240 degrés. En fait, à un moment donné, nous devrons convertir cela en radians. Donc, nous pourrions aussi bien le faire maintenant et le mettre de côté. Pour ce faire, nous rappelons le fait que deux pi radians égalent 360 degrés. Et nous pouvons trouver la valeur d’un degré en divisant par 360. Un degré est égal à deux pi sur 360 radians. Et deux pi sur 360 se simplifie en pi sur 180. Ainsi, un degré est égal à pi sur 180 radians. Ainsi, nous pouvons changer 240 degrés en radians en le multipliant par pi sur 180. Cela nous donne quatre pi sur trois.

Et donc, nous pouvons calculer le module de 𝑧 au carré en mettant au carré le module de 𝑧. Cela fait deux racine de trois au carré. La racine de trois au carré vaut trois. Ainsi, deux racine de trois au carré est deux au carré multiplié par trois, ce qui fait 12. Et puis, pour calculer l’argument de 𝑧 au carré, nous multiplions l’argument de 𝑧 par la puissance qui est deux. Quatre pi sur trois multiplié par deux est huit pi sur trois. Ainsi, nous pouvons voir que sous forme trigonométrique, 𝑧 au carré est 12 multiplié par cosinus de huit pi sur trois plus 𝑖 sinus de huit pi sur trois.

Et rappelez-vous, pour changer un nombre complexe sous forme trigonométrique en forme exponentielle, c’est 𝑟𝑒 à la puissance 𝑖 thêta. Et puisque le module 𝑟 pour 𝑧 au carré est de 12 et l’argument thêta est de huit pi sur trois, on peut dire que 𝑧 au carré est égal à 12𝑒 puissance huit pi sur trois 𝑖. Rappelez-vous cependant que nous voulons généralement représenter cela en utilisant l’argument principal. C’est strictement supérieur à moins pi et inférieur ou égal à pi. En fait, huit pi sur trois est strictement supérieur à pi. Donc, pour trouver l’argument principal, nous additionnons ou soustrayons des multiples de deux pi.

Ici, soustrayons deux pi de huit pi sur trois. Deux pi est égal à six pi sur trois. Et lorsque nous soustrayons six pi sur trois de huit pi sur trois, il nous reste deux pi sur trois. Ainsi, sous forme exponentielle, 𝑧 au carré est 12𝑒 puissance deux pi sur trois 𝑖.

Maintenant, considérons la méthode alternative. Qui était de convertir d’abord ce nombre complexe sous forme exponentielle, puis de le mettre au carré. Encore une fois, nous allons utiliser cette règle. Un nombre complexe avec un module 𝑟 et un argument thêta peut être représenté sous forme exponentielle par 𝑟𝑒 puissance 𝑖 thêta. Nous avons déjà calculé que 240 degrés est égal à quatre pi sur trois radians. Donc, nous pouvons dire que 𝑧 sous forme exponentielle est deux racine de trois multiplié par 𝑒 à la puissance quatre pi sur trois 𝑖.

Et cette fois, pour trouver 𝑧 au carré, nous considérons la forme alternative de la formule de Moivre. Cela dit que si 𝑧 est égal à 𝑟𝑒 puissance 𝑖 thêta, alors 𝑧 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑟 à la puissance 𝑛 multiplié par 𝑒 puissance 𝑖 𝑛 thêta. Et maintenant, vous devriez être capables de voir la relation entre les deux formes et les méthodes que nous utilisons.

Cette fois, 𝑧 au carré est égal à deux racine de trois au carré multiplié par 𝑒 à la puissance deux fois quatre pi sur trois 𝑖. Et, encore une fois, nous savons que deux racine de trois au carré est 12. Et deux multiplié par quatre pi sur trois est huit pi sur trois. Et, encore une fois, en changeant notre argument en argument principal en soustrayant deux pi, nous pouvons voir que 𝑧 au carré est égal à 12𝑒 puissance deux pi sur trois 𝑖.

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