Transcription de la vidéo
Une particule se déplace le long de l’axe des 𝑥. À l’instant 𝑡 secondes, son déplacement par rapport à l’origine est donné par 𝑥 est égal à 𝑎𝑡 au carré moins 𝑡 plus 𝑏 mètres, pour 𝑡 supérieur ou égal à zéro. Lorsque 𝑡 est égal à une seconde, 𝑥 est égal à sept mètres, et lorsque 𝑡 est égal à deux secondes, le vecteur vitesse de la particule est de sept mètres par seconde. Déterminez la valeur de 𝑏 moins 𝑎.
Afin de pouvoir calculer la valeur de 𝑏 moins 𝑎, il devrait être clair pour nous que nous allons commencer par déterminer ce que valent 𝑎 et 𝑏. Utilisons donc les informations sur le déplacement depuis l’origine. À l’instant 𝑡, le déplacement 𝑥 est 𝑎𝑡 au carré moins 𝑡 plus 𝑏 mètres. Nous savons également que lorsque 𝑡 est égal à une seconde, 𝑥 est égal à sept. Commençons donc simplement par utiliser 𝑡 égal à un et 𝑥 égal à sept dans notre équation du déplacement. Lorsque nous le faisons, nous obtenons sept est égal à 𝑎 fois un au carré moins un plus 𝑏. Ce membre de droite se simplifie en 𝑎 moins un plus 𝑏. Et puis si nous ajoutons un des deux côtés, nous avons 𝑎 plus 𝑏 égal à huit.
Alors, comment cela nous aide-t-il ? Eh bien, nous avons plus d’informations. On nous dit que lorsque 𝑡 est égal à deux secondes, le vecteur vitesse de la particule, appelons-le 𝑣, est de sept mètres par seconde. Et donc, vraisemblablement, si nous pouvons trouver une expression pour 𝑣, le vecteur vitesse et remplacer ces valeurs, nous obtiendrons une deuxième équation pour 𝑎 et 𝑏, que nous pouvons ensuite utiliser pour trouver la réponse. Mais comment trouver une expression pour le vecteur vitesse ? Eh bien, le vecteur vitesse est défini comme le taux de variation de la position ou du déplacement. Lorsque nous pensons au taux de variation, nous pensons à la dérivation. Et donc, on peut dire que le vecteur vitesse est la dérivée première du déplacement par rapport au temps 𝑡.
Donc, dérivons notre expression pour 𝑥. Nous savons que 𝑎 et 𝑏 sont des constantes, nous allons donc les traiter comme telles. Faisons cela terme par terme. Nous commençons par dériver 𝑎𝑡 au carré. Maintenant, nous savons que lorsque nous dérivons un terme de puissance, nous multiplions le terme entier par l’exposant, puis réduisons cet exposant de un. Ainsi, la dérivée de 𝑎𝑡 au carré est deux fois 𝑎𝑡 à la puissance un ou deux fois 𝑎𝑡. Maintenant, nous pouvons soit ajouter la dérivée de moins 𝑡, soit soustraire la dérivée de 𝑡. Cette constante, moins un, ne fait aucune différence autrement. Donc, soustrayons la dérivée de 𝑡.
Lorsque nous dérivons 𝑡 par rapport à 𝑡, nous obtenons simplement un. Donc, nous avons une équation pour 𝑣; c’est 𝑣 est égal à deux 𝑎𝑡 moins un. Et nous sommes maintenant prêts à utiliser les valeurs de 𝑡 égal à deux et 𝑣 égal à sept dans cette équation. Lorsque nous le faisons, nous obtenons sept égale à deux fois 𝑎 fois deux moins un. Ce membre de droite se simplifie alors en quatre 𝑎 moins un. C’est simplement une équation que nous pouvons résoudre de la manière classique. Nous commençons par ajouter un des deux côtés, et l’équation devient huit égale à quatre 𝑎. Et puis nous divisons par quatre. Huit divisé par quatre donne deux, nous trouvons donc 𝑎 est égal à deux.
Et nous sommes maintenant prêts à remplacer cela dans notre première équation, huit est égal à 𝑎 plus 𝑏. Lorsque nous le faisons, notre équation devient huit égale deux plus 𝑏. Pour trouver 𝑏, nous soustrayons deux des deux côtés, et nous obtenons 𝑏 est égal à huit moins deux, ce qui est égal à six. Maintenant, la question veut que nous déterminions la valeur de 𝑏 moins 𝑎. Eh bien, nous venons de calculer 𝑏 est égal à six et 𝑎 est égal à deux. Nous voyons donc que 𝑏 moins 𝑎 donne six moins deux, ce qui fait simplement quatre. Étant donné les conditions concernant le mouvement de notre particule, nous trouvons que 𝑏 moins 𝑎 doit être égal à quatre.