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Vidéo question :: Calculer la vitesse d’un projectile en plusieurs points le long de sa trajectoire Physique • Première année secondaire

Une balle est lancée verticalement vers le haut puis retourne au sol. La variation du déplacement vertical de la balle en fonction du temps est indiquée sur le graphique. Le déplacement vertical maximal de la balle à partir de son point de lancement est de 5 m. Quelle est le vecteur vitesse vertical initial de la balle? Donnez la réponse au mètre par seconde près. Quelle est la vitesse de la balle au point P, où son déplacement vertical vers le haut à partir de son point de lancement est de 4,5 m ? Donnez la réponse à une décimale près.

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Transcription de la vidéo

Une balle est lancée verticalement vers le haut puis retourne au sol. La variation du déplacement vertical de la balle en fonction du temps est indiquée sur le graphique. Le déplacement vertical maximal de la balle à partir de son point de lancement est de cinq mètres. Quelle est le vecteur vitesse vertical initial de la balle? Donnez la réponse au mètre par seconde près. Quelle est la vitesse de la balle au point P, où son déplacement vertical vers le haut à partir de son point de lancement est de 4,5 mètres? Donnez la réponse à une décimale près.

Commençons par la première partie de cette question. Dans cette question, on a une balle qui est lancée verticalement vers le haut. Donc, elle a un vecteur vitesse vertical initial que l’on appelle 𝑉 indice i. Lors du mouvement de la balle, la seule force agissant sur celle-ci est la gravité, qui agit verticalement vers le bas et a une valeur égale à la masse de la balle, que l’on appelle 𝑚, multipliée par l’accélération due à la gravité, notée 𝑔. Cette force orientée vers le bas s’exerçant sur la balle fait diminuer son vecteur vitesse vertical au cours du temps, ce qui signifie qu’elle va monter en l’air jusqu’à ce qu’elle atteigne un déplacement vertical maximal vers le haut. Et en ce point, la balle n’aura plus aucun vecteur vitesse vertical. On peut donc écrire 𝑉 est égale à zéro.

Après ce point, le vecteur vitesse vertical de la balle deviendra négatif, la faisant retomber vers le bas jusqu’à ce qu’elle atteigne le sol. Le déplacement vertical de la balle à partir de son point de lancement est indiqué sur le graphique, où l’axe vertical du graphique indique le déplacement et l’axe horizontal du graphique représente le temps. La question nous dit que le déplacement vertical maximal de la balle à partir de son point de lancement est de cinq mètres. Donc, avant de continuer, ajoutons cette information sur le graphique.

Cette première partie de la question nous demande de trouver le vecteur vitesse vertical initial de la balle. On cherche donc à calculer 𝑉 indice i. Pour répondre à cette première partie de la question, on va utiliser une équation qui se rapporte au vecteur vitesse et au déplacement d’un objet soumis à une accélération constante. L’équation indique que la vitesse finale de l’objet au carré est égale à sa vitesse initiale au carré plus deux multipliée par l’accélération subie par l’objet multipliée par son déplacement.

Si on prend le point de lancement de la balle comme point initial et le point où la balle atteint son altitude maximale comme point final, alors on sait que la vitesse finale de la balle est de zéro mètre par seconde. L’accélération que la balle subit vaut moins 𝑔. Et celle-ci est négative car la gravité agit vers le bas, ce qui correspond au sens opposé du déplacement vertical positif. On sait également que la valeur de 𝑔 est de 9,8 mètres par seconde au carré. Ainsi, l’accélération subie par la balle est de moins 9,8 mètres par seconde au carré. Enfin, on nous dit que le déplacement vertical de la balle en ce dernier point est de cinq mètres.

Faisons un peu de place à droite et voyons comment utiliser toutes ces données pour répondre à la question. On va commencer par réorganiser cette équation de la vitesse initiale de la balle. En soustrayant moins deux 𝑎𝑠 des deux côtés, on voit que les deux 𝑎𝑠 de droite s’annulent. Ensuite, en prenant la racine carrée des deux côtés, on voit que la racine carrée de 𝑉 indice i au carré vaut simplement 𝑉 indice i. Donc, cela nous donne une équation pour la vitesse initiale de la balle. En écrivant cela plus proprement, 𝑉 indice i est égale à la racine carrée de 𝑉 indice f au carré moins deux 𝑎𝑠. Maintenant, tout ce que l’on a à faire est de remplacer nos valeurs connues de 𝑉 indice f, 𝑎 et 𝑠 dans cette équation. Ces valeurs sont toutes exprimées en unités du système international, il n’y a donc pas besoin de les convertir avant de continuer.

Après remplacement, on obtient 𝑉 indice i est égale à la racine carrée de zéro mètre par seconde au carré moins deux multiplié par moins 9,8 mètres par seconde au carré multiplié par cinq mètres. On remarque immédiatement que ce zéro mètre par seconde ne contribue pas du tout au calcul. Ensuite, si on sort le signe moins des parenthèses, il s’annule avec l’autre signe moins. En développant l’expression entre parenthèses, on obtient que 𝑉 i est égale à la racine carrée de 98 mètres carrés par seconde au carré. Ces unités peuvent sembler un peu étranges, mais quand on en prend la racine carrée, on s’aperçoit qu’elles nous donnent tout simplement des mètres par seconde, qui sont les unités correctes de la vitesse.

Après calcul, cette expression donne 𝑉 i est égale à 9,90 mètres par seconde. Cependant, cette partie de la question nous demande de donner notre réponse au mètre par seconde près. 9,90 mètres par seconde au mètre par seconde près vaut simplement 10 mètres par seconde. Donc 𝑉 indice i est égale à 10 mètres par seconde. Par conséquent, le vecteur vitesse vertical initiale de la balle est de 10 mètres par seconde au mètre par seconde près.

Maintenant, regardons la deuxième partie de cette question.

La deuxième partie de la question nous demande quelle est la vitesse de la balle au point P, où son déplacement vertical vers le haut à partir de son point de lancement est de 4,5 mètres ? Donnez la réponse à une décimale près.

On souhaite donc maintenant calculer la vitesse de la balle en différents points de sa trajectoire. On peut utiliser deux méthodes pour résoudre ce problème. La première méthode consiste à définir le point P comme notre nouveau point final dans les calculs. Et on peut utiliser la même équation que précédemment avec la valeur que l’on a calculée pour la vitesse initiale de la balle et le nouveau déplacement qui nous est donné de 4,5 mètres pour calculer la vitesse de la balle au point P.

La deuxième méthode consiste à définir le point P comme point initial dans nos calculs. Et on note que le déplacement vertical relatif entre les points initial et final est maintenant de 0,5 mètres. Ensuite, on peut utiliser les mêmes calculs que dans la première partie de la question pour répondre à la deuxième partie. On va utiliser cette deuxième méthode. On se rappelle que la vitesse finale de la balle est de zéro mètre par seconde, l’accélération qu’elle subit est de 9,8 mètres par seconde au carré, et le déplacement de la balle est maintenant le déplacement relatif entre ses points initial et final, que l’on connait et qui est égal à 0,5 mètres.

À partir de toutes ces informations, on cherche la vitesse de la balle au point P. Puisqu’il s’agit du point initial de notre calcul, on va devoir trouver la norme du vecteur vitesse de la balle en ce point initial. On doit donc calculer 𝑉 i , ce qui nous donnera notre réponse.

Tout comme dans la première partie de cette question, on va commencer par cette équation ici. Et ici encore, on va réorganiser pour isoler 𝑉 indice i. On soustrait d’abord deux 𝑎𝑠 des deux côtés, et on constate que ces deux termes de droite s’annulent. Ensuite, on prend la racine carrée des deux côtés. Et on voit que sur la droite, la racine carrée de 𝑉 indice i au carré vaut simplement 𝑉 indice i. Et cela nous donne l’équation de la vitesse initiale de la balle. En écrivant cela un peu plus proprement, 𝑉 indice i est égale à la racine carrée de 𝑉 indice f au carré moins deux 𝑎𝑠.

Maintenant, tout ce qu’il reste à faire est de remplacer les valeurs de 𝑉 indice f, 𝑎 et 𝑠 dans cette équation. Et on remarque encore une fois que ces valeurs sont toutes exprimées en unités du système international, il n’y a donc pas besoin de les convertir avant de continuer. Après remplacement, on obtient 𝑉 indice i est égale à la racine carrée de zéro mètre par seconde au carré moins deux multiplié par moins 9,8 mètres par seconde au carré multiplié par 0,5 mètres. Le calcul de cette expression nous donne une valeur de 𝑉 i égale à 3,13 mètres par seconde. La vitesse de la balle au point P est donc égale à 3,13 mètres par seconde. Et comme cette valeur est positive, elle est donc égale à la vitesse de la balle. On peut donc écrire que la vitesse est égale à 3,13 mètres par seconde.

Enfin, la question nous demande de répondre à une décimale près. 3,13 à une décimale près vaut juste 3,1. Ainsi, la vitesse de la balle au point P, où son déplacement vertical vers le haut à partir de son point de lancement est de 4,5 mètres, est de 3,1 mètres par seconde à une décimale près.

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