Transcription de la vidéo
Un volume de quatre mètres cubes de gaz est à une pression de 1000 pascals. Le gaz peut se dilater à une température constante jusqu’à ce que sa pression soit de la moitié de sa valeur initiale. Par quel facteur le volume du gaz après la dilatation est-il plus grand ?
Bien, on a ici un volume de gaz qui, initialement, est de quatre mètres cubes. Et ce gaz est initialement à une pression de 1000 pascals. En plus de cela, on peut dire que le gaz est à une certaine température, que l’on note 𝑇. On ne connait pas la valeur de 𝑇, mais cela deviendra important dans un court instant.
On nous dit ensuite que le gaz peut se dilater. Ainsi, au fil du temps, on voit que la sphère de gaz s’étend. Elle s’agrandit. Et cela jusqu’à ce que la pression soit égale à la moitié de la valeur avant la dilatation. Donc, on peut maintenant dire que la pression est de 500 pascals. Soit la moitié de la valeur initiale, qui était de 1000 pascals. Maintenant, ce qu’il faut faire est de trouver par combien de fois le volume de gaz est-il plus grand après la dilatation ?
Donc, disons que le volume de gaz après la dilatation est 𝑉. Et en plus de cela, on sait que le gaz se dilate à une température constante. Ainsi, la température du gaz reste toujours de 𝑇, quelle que soit 𝑇. Ici, on peut alors dire que le volume 𝑉 de gaz après dilatation est égal à 𝑛 fois le volume avant dilatation, qui était de quatre mètres cubes, où 𝑛 est le facteur par lequel le volume 𝑉 est augmenté par rapport au volume initial de quatre mètres au cube.
Tout cela peut sembler un peu compliqué. Mais on peut exprimer cela plus simplement en disant que 𝑉 vaut 𝑛 fois quatre mètres cubes. Et dans cette question, on cherche la valeur de 𝑛, combien de fois faut-il multiplier le volume initial de quatre mètres cubes pour obtenir 𝑉.
Or, pour comprendre cela, on peut rappeler la relation connue sous le nom de loi de Boyle. La loi de Boyle dit que la pression d’un gaz parfait, et c’est ce que l’on suppose ici, est inversement proportionnelle au volume du gaz, à condition que la température du gaz soit constante.
En d’autres termes, lorsque la pression d’un gaz augmente, par exemple, le volume diminue. Mais cela n’est vrai que si la température est maintenue constante, ce qui est ici le cas. On nous dit que le gaz se dilate à une température constante. Et puisque la condition que 𝑇 soit constante est remplie par notre gaz, on peut donc appliquer 𝑃 est proportionnelle à un sur 𝑉 à notre gaz.
On peut alors dire que la pression du gaz est égale à une constante de proportionnalité 𝑘 divisée par le volume. En bref, ce que l’on a fait ici, c’est que l’on a transformé cette proportionnalité en une égalité. Et cela par le biais d’une constante de proportionnalité 𝑘. On ne sait pas ce que vaut cette constante de proportionnalité, mais cela n’a pas d’importance.
Car, ce que l’on peut faire, c’est de réorganiser cette équation de sorte que la pression du gaz multipliée par le volume du gaz soit égale à la constante de proportionnalité. Et comme cette constante de proportionnalité est en effet constante, cela signifie que quelle que soit la valeur de 𝑃 et quelle que soit la valeur de 𝑉, leur produit donnera toujours cette même valeur. Et bien sûr, on se rappelle que cela n’est vrai pour notre gaz que parce que 𝑇 est constante. C’est pourquoi on peut effectivement utiliser cette équation.
Quoiqu’il en soit, on peut dire que la pression du gaz au départ, qui était de 1000 pascals, multipliée par le volume du gaz, qui est de quatre mètres cubes, doit être égale à la pression du gaz après dilatation, qui est de 500 pascals, multipliée par le volume du gaz 𝑉.
En effet, quelles que soient les valeurs de 𝑃 et 𝑉 individuellement, le produit de 𝑃 et 𝑉 à un moment donné doit être le même que le produit de 𝑃 et 𝑉 à tout autre moment. Et ce produit dans les deux cas doit être égal à 𝑘. Et donc, on a essentiellement établi que 𝑘 est égal à 𝑘, puisque le côté gauche et le côté droit sont égaux à 𝑘.
Donc, si on le souhaitait, on pourrait calculer la valeur de 𝑘, mais ce n’est pas vraiment ce que l’on cherche à faire ici. On pourrait également, si on le souhaitait, calculer la valeur de 𝑉, le volume final du gaz après dilatation. Cependant, ce n’est pas ce que l’on essaie de faire non-plus. Rappelons-nous que l’on essaie ici de calculer par combien de fois 𝑉 est plus grand que le volume initial de quatre mètres cubes. En d’autres termes, on essaie de calculer 𝑛.
Et si on divise cette équation par quatre mètres cubes des deux côtés, alors on voit que quatre mètres cubes s’annulent à droite. Et donc, 𝑛 est égal à 𝑉 divisé par quatre mètres cubes. Par conséquent, on va prendre cette équation et la réorganiser de manière à avoir 𝑉 sur quatre mètres cubes d’un côté. Et puisque cela sera égal à 𝑛, tout ce qui est de l’autre côté doit également être égal à 𝑛.
On peut faire ceci en divisant les deux côtés de l’équation par quatre mètres cubes et 500 pascal. Cela signifie que du côté gauche, les quatre mètres cube au numérateur se simplifient avec les quatre mètres cube au dénominateur. Et du côté droit, les 500 pascals au numérateur se simplifient avec les 500 pascals au dénominateur. Donc, ce qui nous reste du côté gauche est 1000 pascals divisé par 500 pascals. Et du côté droit, on a 𝑉 divisé par quatre mètres cubes. Mais on a dit que tout cela était égal à 𝑛. Et donc, on peut substituer 𝑛 du côté droit de l’équation.
Revenons maintenant au côté gauche de l’équation, on voit que l’unité des pascals se simplifie au numérateur et au dénominateur. Il ne nous reste donc que 1000 divisé par 500. Et par conséquent, notre réponse finale sera simplement un nombre sans unité, ce qui est parfait. Parce que l’on cherche exactement à trouver un nombre. Ce nombre est égal au facteur par lequel le volume final 𝑉 est supérieur au volume initial de quatre mètres cubes.
Et à présent, on remarque que la valeur de quatre mètres cubes n’était même pas utile dans nos calculs. On aurait pu également appeler cette valeur 𝑉 un, ou la valeur initiale du volume, et toujours être capable de calculer 𝑛. Car tout ce qui importait ici était la pression initiale, ainsi que la pression finale, et leur rapport.
Donc, ici, on obtient que 1000 divisé par 500 est égal à deux. En d’autres termes, le volume du gaz après sa dilatation est deux fois plus grand que le volume intial. On pourrait utiliser cette réponse pour calculer le volume final de gaz, mais on ne nous a pas demandé de le faire. On a déjà trouvé ce dont on a besoin. Et on a donc donné notre réponse finale à cette question.