Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons voir comment calculer la somme des angles intérieurs
d’un polygone. Il y a donc quelques mots dans ce titre avec lesquels nous devons nous familiariser,
et le premier d’entre eux est un polygone. Un polygone est n’importe quelle figure 2D rectiligne. Il y a donc un certain nombre d’exemples dessinés à l’écran ici. Et vous devez vous familiariser avec les noms de polygones ayant un nombre de côtés
différent. J’ai donc dessiné ici des polygones à trois, quatre, cinq, six, sept et huit côtés et
nous allons simplement examiner les noms de ceux-ci comme point de départ.
Les noms de chacun de ces polygones sont donc affichés à l’écran. Une figure à trois côtés est bien sûr un triangle. Un polygone général à quatre côtés est un quadrilatère. Et bien sûr, il existe de nombreux types de quadrilatères avec lesquels vous êtes
familiers, des carrés, des rectangles, des parallélogrammes, etc. Un polygone à cinq côtés s’appelle un pentagone. Un polygone à six côtés est un hexagone, un polygone à sept côtés est un heptagone,
parfois appelé septagone, et un polygone à huit côtés est un octogone. Maintenant, il existe des noms pour les polygones avec beaucoup plus de côtés que
cela. Par exemple, un polygone à 20 côtés s’appelle un icosagone. Mais ce sont quelques-uns des principaux polygones que vous devez connaître.
L’autre mot de ce titre que nous devons comprendre est le mot intérieur. Lorsque nous parlons des angles intérieurs dans un polygone, ce sont maintenant les
angles à l’intérieur de la figure. Donc, ici, ils sont étiquetés en rouge dans chaque figure. Il convient de noter bien sûr qu’il y a le même nombre d’angles intérieurs que de
côtés du polygone. Donc, l’hexagone a six côtés et il a six angles intérieurs. Maintenant, les polygones que j’ai dessinés sont ce qu’on appelle des polygones
irréguliers, ce qui signifie que leurs côtés ne sont pas tous de la même longueur et
que les angles intérieurs ne sont pas tous les mêmes. S’ils étaient identiques, ils seraient appelés polygones réguliers. Nous allons examiner spécifiquement la somme des angles intérieurs dans chacun de ces
polygones.
D’accord, nous allons donc examiner la somme des angles intérieurs dans un
quadrilatère, puis dans un hexagone, pour commencer. Maintenant, cette méthode repose sur le fait que dans un triangle, il y a 180 degrés,
ce qui est un fait que vous auriez vu et peut-être prouvé auparavant. Ce que je vais faire dans le quadrilatère, c’est que je vais choisir l’un des
sommets, et que je vais choisir celui-ci ici, puis je vais connecter ce sommet, ou
coin, à tous les autres sommets, auquel il n’est pas déjà connecté. Donc, dans le quadrilatère, ce n’est que celui qui lui est directement opposé.
Ce que vous voyez maintenant, c’est que j’ai divisé ce quadrilatère en deux
triangles. Maintenant si je dessine sur les angles, chacun de ces triangles, ainsi la somme des
angles dans chaque triangle, sera de 180 degrés, ce qui signifie que, pour le
quadrilatère, la somme totale de tous ses angles sera de deux fois 180 degrés parce
que nous avons deux triangles. Donc, pour un quadrilatère, la somme de ses angles intérieurs est de 360 degrés et
vous le savez peut-être déjà.
Faisons maintenant la même chose pour l’hexagone. Donc, je vais choisir l’un des sommets et encore une fois, je vais le lier à tous les
autres sommets auxquels il n’est pas encore associé. J’ai donc choisi ce sommet en haut ici et ce que vous pouvez voir en faisant ces
liens est que j’ai maintenant un, deux, trois, quatre triangles dans cet
hexagone. De nouveau, si je dessine tous les angles intérieurs ici, vous verrez que la somme
des angles intérieurs dans l’hexagone est la même que la somme des angles intérieurs
dans ces quatre triangles. Comme nous l’avons déjà dit maintenant, la somme des angles de chaque triangle est de
180 degrés. Par conséquent, comme j’en ai quatre, la somme des angles intérieurs dans l’hexagone
sera de quatre fois 180 degrés. La somme des angles intérieurs pour l’hexagone est donc égale à 720.
Vous pouvez maintenant essayer cette méthode vous-même avec peut-être d’autres
polygones, peut-être un pentagone, un octogone ou tout ce que vous aimez vraiment,
et voir le nombre de triangles que vous créez en utilisant cette méthode à chaque
fois. Ce que nous aimerions faire, c’est d’élaborer une règle générale que nous pourrions
utiliser pour n’importe quel polygone comportant un nombre quelconque de côtés. Alors regardons ces deux et peut-être ceux que vous avez faits vous-même. Ce que vous remarquerez pour le quadrilatère à quatre côtés est que nous avons pu
créer deux triangles, et pour l’hexagone à six côtés, nous avons pu créer quatre
triangles. Ainsi, le nombre de triangles est toujours inférieur de deux au nombre de côtés.
Alors, généralisons pour ce que nous appelons un polygone à 𝑛 côtés où 𝑛 ne
représente que le nombre de côtés. Comme nous l’avons dit, le nombre de triangles sera inférieur de deux au nombre de
côtés. Donc, si le nombre de côtés est 𝑛, le nombre de triangles sera 𝑛 moins deux. Et chacun de ces triangles a 180 degrés, ce qui signifie que la somme des angles
intérieurs sera 180 fois 𝑛 moins deux. Cela nous donne donc une formule générale que nous pouvons utiliser pour calculer la
somme des angles intérieurs dans n’importe quel polygone à 𝑛 côtés. Je dois juste soustraire deux du nombre de côtés et le multiplier par 180. Voyons donc comment répondre à quelques questions à ce sujet.
La première question nous demande de déterminer la somme des angles intérieurs dans
un pentagone.
Alors rappelez-vous, notre formule pour calculer la somme des angles intérieurs était
de 180 multiplié par 𝑛 moins deux, où 𝑛 représente le nombre de côtés. Un pentagone, rappelez-vous, a cinq côtés, nous allons donc remplacer 𝑛 égale cinq
dans cette formule. Nous avons donc la somme des angles intérieurs dans un pentagone est 180 multiplié
par cinq moins deux, ce qui est bien sûr 180 multiplié par trois, ce qui nous
indique que la somme des angles intérieurs est de 540 degrés. Et nous pourrions répondre à la même question pour n’importe quel polygone, une
figure à 10 côtés, une figure à 12 côtés, une figure à 38 côtés. Nous pourrions répondre exactement de la même manière en substituant simplement la
valeur de 𝑛 dans notre formule. D’accord.
Regardons une question différente.
Cette question dit que la somme des angles intérieurs dans un polygone est de 1620
degrés. Combien de côtés ce polygone a-t-il ?
Donc, dans cette question, on nous demande essentiellement de travailler à
rebours. On nous donne la somme des angles intérieurs et on va recommencer le calcul du nombre
de côtés. Alors rappelez-vous, voici notre formule pour la somme des angles intérieurs et nous
pouvons l’utiliser pour former une équation. Nous savons que cette somme est égale à 1620. Je peux donc écrire l’équation, 180 fois 𝑛 moins deux font 1620. Maintenant, on nous demande de trouver le nombre de côtés, donc ce qui est dit, c’est
résoudre cette équation pour résoudre la valeur de 𝑛, car rappelez-vous 𝑛
représente le nombre de côtés.
Alors maintenant, cela est devenu essentiellement un problème algébrique. Je veux résoudre cette équation, donc la première étape consiste à diviser les deux
côtés de cette équation par 180. Une fois que j’ai fait cela, cela me donne la ligne de calcul de 𝑛 moins deux est
égal à neuf. La prochaine étape consiste alors simplement à ajouter deux des deux côtés de cette
équation. Et cela va me donner la réponse au problème, 𝑛 est égal à onze. Il s’agit donc d’un polygone à 11 côtés dont la somme des angles intérieurs est égale
à 1620.
Bien, une dernière question alors.
On nous a donné une figure et on nous demande de calculer la mesure de l’angle
𝐴𝐵𝐶.
Alors cet angle est ici, quand je vais de 𝐴 à 𝐵 puis à 𝐶. L’angle est actuellement étiqueté par 𝑦. Nous allons donc avoir besoin de notre formule pour la somme des angles intérieurs à
un moment donné, alors je l’ai reprise ici. Et regardons ce que nous avons. Si l’on compte le nombre de côtés dans la figure, nous avons cinq côtés, alors 𝑛 est
égal à cinq. Donc, avec notre démarche ici, nous pouvons calculer la somme totale des angles
intérieurs en utilisant cette formule. Nous en connaissons trois, nous pourrons donc le soustraire. Et puis les deux autres angles sont tous deux étiquetés par 𝑦, ce qui signifie
qu’ils sont les mêmes. Donc, tout ce qui reste, si on le réduit de moitié, nous donnera la mesure de l’angle
𝐴𝐵𝐶. Alors passons en revue les étapes à suivre pour cela.
La somme des angles intérieurs égale donc 180 fois trois. C’est cinq moins deux parce qu’il y avait cinq côtés, ce qui nous donne 540 degrés
pour la somme totale. Cela signifie donc que tous ces angles additionnés, donc 121, plus 110 plus 85, plus
deux fois 𝑦 doit être égale à 540. Maintenant, nous pourrions écrire cela comme une équation. Et maintenant nous avons cette équation, nous devons juste passer par les étapes pour
la résoudre afin de déterminer la valeur de 𝑦. Alors tout d’abord, si je viens de combiner ces 121, 110 et 85 ensemble, maintenant
j’ai l’équation deux 𝑦 plus 316 est égal à 540.
La prochaine étape pour résoudre cela serait de soustraire 316 des deux côtés de
l’équation, alors maintenant j’ai deux 𝑦 est égal à 224. Puis pour trouver 𝑦, je peux réduire de moitié les deux côtés de l’équation. Et cela me donne une réponse finale de 𝑦 est égal à 112 degrés.
Pour résumer, dans cette vidéo, nous avons examiné les noms de polygones communs. Nous avons étudié comment calculer la somme de leurs angles intérieurs, en fonction
du nombre de côtés. Nous avons vu comment travailler en arrière en connaissant la somme des angles
intérieurs pour calculer le nombre de côtés, puis nous avons examiné un problème
associé à cela.