Vidéo : Somme des angles intérieurs d’un polygone

Identifiez et nommez des polygones communs et calculez la somme des angles intérieurs d’un polygone. Cela inclut le travail en arrière pour déterminer le nombre de côtés d’un polygone à partir de la somme des angles intérieurs.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir comment calculer la somme des angles intérieurs d’un polygone. Il y a donc quelques mots dans ce titre avec lesquels nous devons nous familiariser, et le premier d’entre eux est un polygone. Un polygone est n’importe quelle figure 2D rectiligne. Il y a donc un certain nombre d’exemples dessinés à l’écran ici. Et vous devez vous familiariser avec les noms de polygones ayant un nombre de côtés différent. J’ai donc dessiné ici des polygones à trois, quatre, cinq, six, sept et huit côtés et nous allons simplement examiner les noms de ceux-ci comme point de départ.

Les noms de chacun de ces polygones sont donc affichés à l’écran. Une figure à trois côtés est bien sûr un triangle. Un polygone général à quatre côtés est un quadrilatère. Et bien sûr, il existe de nombreux types de quadrilatères avec lesquels vous êtes familiers, des carrés, des rectangles, des parallélogrammes, etc. Un polygone à cinq côtés s’appelle un pentagone. Un polygone à six côtés est un hexagone, un polygone à sept côtés est un heptagone, parfois appelé septagone, et un polygone à huit côtés est un octogone. Maintenant, il existe des noms pour les polygones avec beaucoup plus de côtés que cela. Par exemple, un polygone à 20 côtés s’appelle un icosagone. Mais ce sont quelques-uns des principaux que vous devez connaître.

L’autre mot de ce titre que nous devons comprendre est le mot intérieur. Lorsque nous parlons des angles intérieurs dans un polygone, ce sont maintenant les angles à l’intérieur de la figure. Donc, ici, ils sont étiquetés en rouge dans chaque forme. Il convient de noter bien sûr qu’il y a le même nombre d’angles intérieurs que de côtés du polygone. Donc, l’hexagone a six côtés et il a six angles intérieurs. Maintenant, les polygones que j’ai dessinés sont ce qu’on appelle des polygones irréguliers, ce qui signifie que leurs côtés ne sont pas tous de la même longueur et que les angles intérieurs ne sont pas tous les mêmes. S’ils étaient identiques, ils seraient appelés polygones réguliers. Nous allons examiner spécifiquement la somme des angles intérieurs dans chacun de ces polygones.

D’accord, nous allons donc examiner la somme des angles intérieurs dans un quadrilatère, puis dans un hexagone, pour commencer. Maintenant, cette méthode repose sur le fait que dans un triangle, il y a 180 degrés, ce qui est un fait que vous auriez vu et peut-être prouvé auparavant. Ce que je vais faire dans le quadrilatère, c’est que je vais choisir l’un des sommets, et que je vais choisir celui-ci ici, puis je vais connecter ce sommet, ou coin, à tous les autres sommets : auquel il n’est pas déjà connecté. Donc, dans le quadrilatère, ce n’est que celui qui lui est directement opposé.

Ce que vous voyez maintenant, c’est que j’ai divisé ce quadrilatère en deux triangles. Maintenant si je dessine sur les angles, chacun de ces triangles, ainsi la somme des angles dans chaque triangle, sera de 180 degrés, ce qui signifie que, pour le quadrilatère, la somme totale de tous ses angles sera de deux fois 180 degrés parce que nous avons deux triangles. Donc, pour un quadrilatère, la somme de ses angles intérieurs est de trois cent soixante degrés et vous le savez peut-être déjà.

Faisons maintenant la même chose pour l’hexagone. Donc, je vais choisir l’un des sommets et encore une fois, je vais le joindre à tous les autres sommets auxquels il n’est pas encore associé. J’ai donc choisi ce sommet en haut ici et ce que vous pouvez voir en faisant ces jointures est que j’ai maintenant un, deux, trois, quatre triangles dans cet hexagone. De nouveau, si je dessine sur tous les angles intérieurs ici, vous verrez que la somme des angles intérieurs dans l’hexagone est la même que la somme des angles intérieurs dans ces quatre triangles. Comme nous l’avons déjà dit, la somme des angles de chaque triangle est de 180 degrés. Par conséquent, comme j’en ai quatre, la somme des angles intérieurs dans l’hexagone sera de quatre fois 180 degrés. La somme des angles intérieurs pour l’hexagone est donc 720.

Vous pouvez maintenant essayer cette méthode vous-même avec peut-être d’autres polygones, peut-être un pentagone, un octogone ou tout ce que vous aimez vraiment, et voir le nombre de triangles que vous créez en utilisant cette méthode à chaque fois. Ce que nous aimerions faire, c’est d’élaborer une règle générale que nous pourrions utiliser pour n’importe quel polygone comportant un nombre quelconque de côtés. Alors regardons ces deux et peut-être ceux que vous avez fait vous-même. Ce que vous remarquerez pour le quadrilatère à quatre côtés, nous avons pu créer deux triangles et pour l’hexagone à six côtés, nous avons pu créer quatre triangles. Ainsi, le nombre de triangles est toujours inférieur de deux au nombre de côtés.

Alors, généralisons pour ce que nous appelons un 𝑛-gone où à 𝑛 côtés ne représente que le nombre de côtés. Comme nous l’avons dit, le nombre de triangles sera deux de moins que le nombre de côtés. Donc, si le nombre de côtés est 𝑛, le nombre de triangles sera 𝑛 moins deux. Et chacun de ces triangles a 180 degrés, ce qui signifie que la somme des angles intérieurs sera multiplié par 180 fois 𝑛 moins deux. Cela nous donne donc une formule générale que nous pouvons utiliser pour calculer la somme des angles intérieurs dans n’importe quel polygone à côtés 𝑛. Je dois juste soustraire deux du nombre de côtés et le multiplier par 180. Voyons donc comment répondre à quelques questions à ce sujet.

La première question nous demande de trouver la somme des angles intérieurs dans un pentagone.

Alors rappelez-vous, notre formule pour calculer la somme des angles intérieurs était de 180 multiplié par 𝑛 moins deux, où 𝑛 représente le nombre de côtés. Un pentagone, rappelez-vous, a cinq côtés, nous sommes donc tout va être remplacer 𝑛 égale cinq dans cette formule. Nous avons donc la somme des angles intérieurs dans un pentagone est cent quatre vingt multiplié par cinq moins deux, ce qui bien sûr est 180 multiplié par trois, ce qui nous indique que la somme des angles intérieurs est de 540 degrés. Et nous pourrions répondre à la même question pour n’importe quel polygone, une figure à 10 côtés, une figure à 12 côtés, une figure à 38 côtés. Nous pourrions répondre exactement de la même manière en substituant simplement la valeur de 𝑛 dans notre formule. D’accord. Regardons une question différente.

Cette question dit que la somme des angles intérieurs dans un polygone est de 1620 degrés. Combien de côtés ce polygone a-t-il ?

Donc, dans cette question, on nous demande essentiellement de travailler à rebours. On nous donne la somme des angles intérieurs et on recommence à calculer le nombre de côtés. Alors rappelez-vous, voici notre formule pour la somme des angles intérieurs et nous pouvons l’utiliser pour former une équation. Nous savons que cette somme est égale à 1620. Je peux donc écrire l’équation, 180 fois 𝑛 moins deux sont égaux à 1620. Maintenant, il est demandé de trouver le nombre de côtés, donc ce qui est dit, c’est résoudre cette équation pour résoudre la valeur de 𝑛, car rappelez-vous 𝑛 représente le nombre de côtés.

Alors maintenant, cela est devenu essentiellement un problème algébrique. Je veux résoudre cette équation, donc la première étape consiste à diviser les deux côtés de cette équation par 180. Une fois que j’ai fait cela, cela me donne la ligne de calcul 𝑛 moins deux est égal à neuf. La prochaine étape consiste alors simplement à ajouter deux des deux côtés de cette équation. Et cela va me donner la réponse au problème, 𝑛 est égal à onze. Il s’agit donc d’un polygone à 11 côtés dont la somme des angles intérieurs est égale à 1620.

Ok, une dernière question alors. On nous a donné une figure et on nous demande de calculer la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶.

Alors que cet angle est ici, quand je vais de 𝐴 à 𝐵 puis à 𝐶. L’angle est actuellement étiqueté avec 𝑦. Nous allons donc avoir besoin de notre formule pour la somme des angles intérieurs à un moment donné, alors je l’ai reprise ici. Et regardons ce que nous avons. Si l’on compte le nombre de côtés dans la figure, nous avons cinq côtés, donc 𝑛 est égal à cinq. Donc, notre stratégie ici, nous pouvons calculer la somme totale des angles intérieurs en utilisant cette formule. Nous en connaissons trois, nous pourrons donc le soustraire. Et puis les deux autres angles sont tous deux étiquetés comme 𝑦, ce qui signifie qu’ils sont les mêmes. Donc, tout ce qui reste, si on le réduit de moitié, nous donnera la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶. Alors passons en revue les travaux pour cela.

La somme des angles intérieurs est donc 180 fois trois. C’est cinq moins deux parce qu’il y avait cinq côtés, ce qui nous donne 540 degrés pour la somme totale. Cela signifie donc que tous ces angles additionnés, donc 121, plus 110 plus 85, plus deux fois 𝑦 doit être égale à 540. Maintenant, nous pourrions écrire cela comme une équation. Et maintenant nous avons cette équation, nous devons juste passer par les étapes pour le résoudre afin de travailler sur la valeur de 𝑦. Alors tout d’abord, si je viens de combiner ces 121, 110 et 85 ensemble, maintenant je l’équation à deux 𝑦, plus 316 est égal à 540.

La prochaine étape pour résoudre ce serait de soustraire 316 des deux côtés de l’équation, alors maintenant j’ai deux 𝑦 est égal à 224. Et puis trouver 𝑦, je peux réduire de moitié les deux côtés de l’équation. Et cela me donne une réponse finale de 𝑦 est égal à 112 degrés. Pour résumer, dans cette vidéo, nous avons examiné les noms de polygones communs. Nous avons étudié comment calculer la somme de leurs angles intérieurs, en fonction du nombre de côtés. Nous avons vu comment travailler en arrière en connaissant la somme des angles intérieurs pour calculer le nombre de côtés, puis nous avons examiné un problème associé à cela.

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