Vidéo question :: Déterminer la puissance d’une particule se déplaçant sous l’action d’une force sous forme vectorielle à l’aide d’une expression position-temps Mathématiques

Transcription de la vidéo

Une particule se déplace sous l’action d’une force 𝐹 égale huit 𝑖 plus cinq 𝑗. Son vecteur position à l’instant 𝑡 est donné par la relation 𝑟 de 𝑡 égale trois 𝑡 au carré moins 𝑡 moins quatre 𝑖 plus cinq demi 𝑡 au carré plus 10𝑡 plus cinq 𝑗. Déterminez le rythme du travail effectué par la force à l'instant 𝑡 égal à trois.

On nous donne la force ainsi que ses composantes 𝐹 et le vecteur position d’une particule en fonction du temps 𝑡 et nous voulons déterminer le taux auquel le travail est effectué par la force à un moment donné. Ce taux est un taux par rapport au temps. Nous pouvons donc appeler la variable que nous recherchons 𝑑𝑤 sur 𝑑𝑡.

Si nous rappelons que le travail est égal au produit scalaire de la force et du déplacement, alors en fonction des données que nous avons, nous pouvons réécrire notre expression comme 𝑑 sur 𝑑𝑡 la dérivée par rapport au temps de 𝐹 scalaire 𝑟 de 𝑡. Et puisque 𝐹 est constante par rapport au temps, nous pouvons la réécrire comme 𝐹 scalaire 𝑑 sur 𝑑𝑡 de 𝑟 de 𝑡.

Puisque 𝐹 et 𝑟 de 𝑡 sont données dans l’énoncé du problème, nous pouvons maintenant insérer leurs valeurs et faire ce calcul. En remplaçant 𝐹 par huit 𝑖 plus cinq 𝑗 et 𝑟 pas ses composantes en 𝑖 et en 𝑗, nous sommes prêts pour dériver 𝑟 de 𝑡 par rapport au temps. Lorsque nous faisons cela, nous constatons que la dérivée par rapport à 𝑡 nous donne six 𝑡 moins un 𝑖 plus cinq 𝑡 plus 10𝑗.

On nous dit que nous voulons calculer ce taux lorsque le temps est égal à trois. En utilisant cette valeur pour 𝑡 où elle apparaît dans notre dérivée par rapport au temps de 𝑟 de 𝑡, notre dérivée par rapport au temps du vecteur position se réduit à 17𝑖 plus 25𝑗.

En calculant le produit scalaire de ces deux vecteurs, nous trouvons un résultat de huit fois 17 plus cinq fois 25 ou 261. C’est le taux du travail effectué ou la puissance exercée par la force au temps 𝑡 égal à trois.