Vidéo question :: Calcul de la longueur du grand arc d’un cercle dont on connaît le rayon et l’angle dans lequel il est inscrit Mathématiques

Transcription de la vidéo

Si la mesure de l’angle 𝐴 est de 76 degrés et le rayon du cercle égale trois centimètres, alors déterminez la longueur du grand arc 𝐵𝐶.

Il faut toujours commencer par indiquer tout ce que nous savons déjà sur le schéma. On nous donne l’angle 𝐴 qui est de 76 degrés. On nous donne aussi le rayon, qui mesure trois centimètres. Il est utile d’indiquer ces deux rayons. Nous verrons pourquoi dans un instant.

Rappelons à présent un théorème important sur le cercle : le rayon et la tangente forment un angle de 90 degrés. Cela nous sera utile pour calculer d’autres angles. La somme des angles d’un quadrilatère est égale à 360 degrés. Nous pouvons donc retrancher de 360 les angles connus pour trouver l’angle au centre du cercle 𝑂. 360 moins 90 plus 90 plus 76 égale 104 degrés.

Cependant, on nous demande de trouver la longueur du grand arc 𝐵𝐶. C’est-à-dire qu’il faut trouver la mesure de la partie la plus longue de la circonférence du cercle entre 𝐵 et 𝐶. Pour ce faire, il nous faut trouver la mesure de l’angle noté 𝜃. Nous savons que la somme des angles autour d’un point est de 360 degrés. Ainsi, 360 moins 104 égale 256. 𝜃 égale 256 degrés.

La formule de la longueur de l’arc d’un secteur de 𝜃 radians est 𝑟 fois 𝜃. Nous ne connaissons pour l’instant que la mesure de 𝜃 en degrés. Faisons un rappel. Pour convertir les degrés en radians, nous multiplions par 𝜋 sur 180. D’où, 𝜃 égale 256 fois 𝜋 sur 180. Nous simplifions, ce qui donne 𝜃 égale 64 sur 45 fois 𝜋.

Nous avons maintenant un rayon de trois centimètres et un angle de 64 sur 45𝜋. La longueur de l’arc est trois fois 64 sur 45 fois 𝜋. Cela donne 13,4 centimètres avec trois chiffres significatifs.