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Vidéo de question : Déterminer un vecteur inconnu dans une équation impliquant des opérations sur les vecteurs Mathématiques

Si 𝐀 = ⟨−1, 1, 1⟩ et 𝐁 = ⟨1, 1, −2⟩, déterminez le vecteur 𝐂 pour lequel 2𝐂 + 5𝐀 = 5𝐁.

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Transcription de vidéo

Sachant que le vecteur a pour coordonnées moins un, un, un et que le vecteur w a pour coordonnées un, un, moins deux, déterminez le vecteur s tel que deux s plus cinq u est égal à cinq w.

Pour répondre à cette question, il est nécessaire de savoir additionner et soustraire des vecteurs, et de savoir multiplier un vecteur par un scalaire. Mais pour commencer, réarrangeons l’équation deux s plus cinq u égale cinq w de manière à isoler le vecteur s. On commence par soustraire cinq fois le vecteur u des deux côtés. Cela nous donne deux s égale cinq w moins cinq u. Puis on multiplie par un demi des deux côtés pour obtenir que le vecteur s est égal à un demi multiplié par cinq w moins cinq u.

À ce stade, on pourrait développer l’expression du membre de droite, c’est-à-dire multiplier cinq w et moins cinq u par un demi. Mais cette fois-ci, on choisit plutôt de calculer en premier les vecteurs cinq w et cinq u. Pour multiplier un vecteur par un scalaire, il suffit de multiplier chacune de ses coordonnées par le scalaire. Cinq multiplié par un est égal à cinq et cinq multiplié par moins deux est égal à moins 10, donc cinq fois le vecteur w est égal au vecteur cinq, cinq, moins 10. On procède de la même façon pour calculer cinq fois le vecteur u. C’est égal au vecteur moins cinq, cinq, cinq.

La prochaine étape consiste à soustraire ces deux vecteurs. On doit calculer cinq w moins cinq u. Pour soustraire deux vecteurs, il suffit de soustraire leurs coordonnées correspondantes. Cinq moins moins cinq se simplifie en cinq plus cinq, ce qui est égal à 10. Cinq moins cinq est égal à zéro. Enfin, moins 10 moins cinq est égal à moins 15. Par conséquent, cinq w moins cinq u est égal au vecteur 10, zéro, moins 15.

Et on sait que le vecteur s est égal à un demi fois ce vecteur. Pour calculer le vecteur résultant, on procède à nouveau coordonnée par coordonnée. Un demi fois 10 est égal à cinq. Un demi fois zéro est égal à zéro. Et un demi fois moins 15 est égal à moins 15 sur deux, ou autrement dit à moins quinze demis. Le vecteur s tel que deux s plus cinq u est égal à cinq w a pour coordonnées cinq, zéro, moins quinze demis.

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