Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à factoriser la somme et la différence de deux cubes. Commençons par montrer les formules que l’on peut utiliser pour factoriser la somme de deux cubes et la différence de deux cubes.
Un polynôme sous la forme 𝑎 au cube plus 𝑏 au cube est appelé une somme de deux cubes. Tout polynôme de cette forme peut être factorisé de telle sorte que 𝑎 au cube plus 𝑏 au cube soit égal à 𝑎 plus 𝑏 fois 𝑎 au carré moins 𝑎𝑏 plus 𝑏 au carré. On peut prouver que c’est le cas en développant les parenthèses ou en distribuant les parenthèses sur le membre droit. Nous commençons par distribuer 𝑎. Nous multiplions 𝑎 au carré, moins 𝑎𝑏 et 𝑏 au carré par 𝑎. Cela nous donne 𝑎 au cube moins 𝑎 au carré 𝑏 plus 𝑎𝑏 au carré.
Ensuite nous distribuons 𝑏. Cela nous donne 𝑎 au carré 𝑏 moins 𝑎𝑏 au carré plus 𝑏 au cube. On remarque que l’on peut annuler un 𝑎 au carré 𝑏 car moins 𝑎 au carré 𝑏 plus 𝑎 au carré 𝑏 est égal à zéro. On peut également annuler 𝑎𝑏 au carré. Cela nous laisse avec 𝑎 au cube plus 𝑏 au cube, ce qui est égal au côté gauche. Cela prouve que 𝑎 au cube plus 𝑏 au cube est égal à 𝑎 plus 𝑏 fois 𝑎 au carré moins 𝑎𝑏 plus 𝑏 au carré.
Considérons maintenant un polynôme sous la forme 𝑎 au cube moins 𝑏 au cube. Cela s’appelle la différence de deux cubes. 𝑎 au cube moins 𝑏 au cube peut être factorisé sous la forme suivante : 𝑎 moins 𝑏 fois 𝑎 au carré plus 𝑎𝑏 plus 𝑏 au carré. Encore une fois, on peut le prouver en distribuant les parenthèses. La multiplication de 𝑎 par 𝑎 au carré plus 𝑎𝑏 plus 𝑏 au carré nous donne 𝑎 au cube plus 𝑎 au carré 𝑏 plus 𝑎𝑏 au carré. La multiplication des trois termes de la deuxième parenthèse par moins 𝑏 nous donne moins 𝑎 au carré 𝑏 moins 𝑎𝑏 au carré moins 𝑏 au cube.
Encore une fois, les termes 𝑎 au carré 𝑏 et 𝑎𝑏 au carré s’annulent, ce qui nous laisse avec 𝑎 au cube moins 𝑏 au cube. 𝑎 au cube moins 𝑏 au cube est égal à 𝑎 moins 𝑏 fois 𝑎 au carré plus 𝑎𝑏 plus 𝑏 au carré. Dans toutes les questions que l’on va traiter dans cette vidéo, on devra utiliser l’une de ces deux formules. Dans chaque cas, on réécrira la formule appropriée pour qu’à la fin de cette leçon, on espère les avoir apprises toutes les deux.
Étant donné que 𝑥 au cube moins 512 est égal à 𝑥 moins huit fois 𝑥 au carré plus 𝑘 plus 64, déterminez une expression pour 𝑘.
Toute expression sous la forme 𝑎 au cube moins 𝑏 au cube est connue comme la différence de deux cubes. Nous savons que cela peut être factorisé sous la forme 𝑎 moins 𝑏 fois 𝑎 au carré plus 𝑎𝑏 plus 𝑏 au carré. Dans cette question, la valeur de 𝑎 au cube est 𝑥 au cube et la valeur de 𝑏 au cube est 512. Si 𝑎 au cube est égal à 𝑥 au cube, on sait que 𝑎 est égal à 𝑥 car on peut prendre la racine cubique des deux membres de l’équation. Si 𝑏 au cube est égal à 512, alors 𝑏 est égal à huit. On sait que huit au cube est égal à 512, ce qui signifie que la racine cubique de 512 est huit.
Lors de la factorisation de 𝑎 au cube moins 𝑏 au cube, le premier ensemble de parenthèses contenait 𝑎 moins 𝑏. Cela signifie que dans notre exemple, on aura 𝑥 moins huit. Le premier terme du deuxième ensemble de parenthèses sera 𝑥 au carré. Le deuxième terme est 𝑎 fois 𝑏, ce qui donne huit 𝑥. Le dernier terme est 𝑏 au carré, il s’agit de huit au carré dans notre cas, ce qui équivaut à 64. On nous demande de trouver une expression pour 𝑘. Ceci est égal à huit 𝑥. C’est la valeur de 𝑎 fois 𝑏.
Dans notre prochaine question, on devra factoriser complètement la somme de deux cubes.
L’expression 𝑥 au cube plus 27 a deux facteurs. L’un des deux facteurs est 𝑥 plus trois. Quel est l’autre facteur ?
Rappelons que toute expression écrite sous la forme 𝑎 au cube plus 𝑏 au cube est appelée la somme de deux cubes. Celle-ci peut être factorisée en deux ensembles de parenthèses, 𝑎 plus 𝑏 fois 𝑎 au carré moins 𝑎𝑏 plus 𝑏 au carré. Dans cette question, 𝑎 au cube est égal à 𝑥 au cube et 𝑏 au cube est égal à 27. On peut calculer les valeurs de 𝑎 et 𝑏 en prenant le cube des deux membres de ces équations. Cela nous donne des valeurs de 𝑎 et 𝑏 de 𝑥 et trois, respectivement. On peut maintenant utiliser cette information pour factoriser 𝑥 au cube plus 27 en deux ensembles de parenthèses.
La première parenthèse est 𝑎 plus 𝑏. Dans notre question, c’est 𝑥 plus trois. On nous a déjà dit dans l’énoncé qu’il s’agit de l’un des facteurs. Notre deuxième ensemble de parenthèses est 𝑎 au carré moins 𝑎𝑏 plus 𝑏 carré. 𝑎 au carré est égal à 𝑥 au carré. 𝑎 fois 𝑏 est égal à trois 𝑥, donc notre deuxième terme est moins trois 𝑥. 𝑏 au carré est égal à neuf car trois fois trois égale neuf. L’expression 𝑥 au cube plus 27 peut être factorisée sous la forme 𝑥 plus trois fois 𝑥 au carré moins trois 𝑥 plus neuf. Cela signifie que la bonne réponse à cette question est 𝑥 au carré moins trois 𝑥 plus neuf. C’est l’autre facteur de 𝑥 au cube plus 27.
On pourrait vérifier cette réponse en distribuant nos parenthèses. On pourrait multiplier 𝑥 au carré moins trois 𝑥 plus neuf par 𝑥, puis multiplier 𝑥 au carré moins trois 𝑥 plus neuf par trois. Lorsqu’on fait cela, tous les termes sont annulés sauf 𝑥 au cube plus 27.
Dans notre prochaine question, il s’agit d’un problème plus compliqué car on doit d’abord retirer le plus grand commun diviseur.
Factorisez complètement 1000𝑥 au cube moins 125.
À première vue, il nous semble que cette expression est écrite sous la forme 𝑎 au cube moins 𝑏 au cube, ce qui correspond à la différence de deux cubes. On sait que toute expression de ce type peut être factorisée, comme indiqué, en deux ensembles de parenthèses, 𝑎 moins 𝑏 fois 𝑎 au carré plus 𝑎𝑏 plus 𝑏 au carré. Cependant, lorsqu’on considère les nombres 1000 et 125, on remarque qu’ils ont pour plus grand commun diviseur un nombre supérieur à un. En fait, 1000 et 125 sont tous deux divisibles par 125. Cela signifie que l’on peut commencer notre réponse en factorisant 125. 1000 divisé par 125 est égal à huit. Cela signifie que 125 fois huit 𝑥 au cube est égal à 1000𝑥 au cube. Comme 125 divisé par 125 est égal à un, 1000𝑥 au cube moins 125 est égal à 125 fois huit 𝑥 au cube moins un.
L’expression huit 𝑥 au cube moins un est toujours sous la forme 𝑎 au cube moins 𝑏 au cube, ce qui signifie que l’on peut factoriser davantage. 𝑎 au cube est égal à huit 𝑥 au cube, et 𝑏 au cube est égal à un. On peut alors prendre la racine cubique des deux membres de ces équations pour trouver les valeurs de 𝑎 et 𝑏. La racine cubique de huit est égale à deux. Donc, 𝑎 est égal à deux 𝑥. La racine cubique de un est un, donc 𝑏 est égal à un. On peut maintenant factoriser huit 𝑥 au cube moins un dans nos deux parenthèses.
𝑎 moins 𝑏 égale deux 𝑥 moins un. 𝑎 au carré est égal à quatre 𝑥 au carré parce que deux 𝑥 fois deux 𝑥 nous donne quatre 𝑥 au carré. En multipliant les valeurs de 𝑎 et 𝑏, on obtient deux 𝑥. Enfin, 𝑏 au carré est égal à un. Huit 𝑥 au cube moins un est donc égal à deux 𝑥 moins un fois quatre 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus un. On peut donc conclure que la forme entièrement factorisée de 1000 𝑥 au cube moins 125 est 125 fois deux 𝑥 moins un fois quatre 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus un.
Dans la question suivante, on doit calculer la somme de deux cubes en distribuant les parenthèses.
Complétez ce qui suit: Le, espace vide, est égal à 𝑦 plus 15𝑥 fois 𝑦 au carré moins 15𝑦𝑥 plus 225𝑥 au carré.
En regardant cette question, notre première idée pourrait être d’essayer de distribuer les parenthèses, c’est-à-dire de multiplier 𝑦 au carré moins 15𝑦𝑥 plus 225𝑥 au carré d’abord par 𝑦 puis par 15𝑥. Cependant, on peut remarquer que notre expression est écrite sous la forme 𝑎 plus 𝑏 fois 𝑎 au carré moins 𝑎𝑏 plus 𝑏 au carré. C’est la forme factorisée de l’expression 𝑎 au cube plus 𝑏 au cube. C’est ce qu’on appelle la somme de deux cubes. Notre valeur de 𝑎 est 𝑦, et notre valeur de 𝑏 est 15𝑥.
On peut calculer la valeur de 𝑎 au cube et de 𝑏 au cube en prenant le cube des deux membres de chacune de ces équations. Notre première équation nous donne 𝑎 au cube est égal à 𝑦 au cube. Prendre le cube des deux membres de notre deuxième équation nous donne 𝑏 au cube est égal à 3375𝑥 au cube. C’est parce que 15 fois 15 fois 15 est égal à 3375. Le terme manquant est donc 𝑦 au cube plus 3375𝑥 au cube car cela est égal à 𝑦 plus 15𝑥 fois 𝑦 au carré moins 15𝑦𝑥 plus 225𝑥 au carré.
On aurait obtenu la même réponse si on avait distribué les deux ensembles de parenthèses. Tous les termes auraient été annulés sauf le terme 𝑦 fois 𝑦 au carré, ce qui correspond à 𝑦 au cube, et le terme 15𝑥 fois 225𝑥 au carré, ce qui correspond à 3375𝑥 au cube.
Dans notre dernière question, on a une expression initiale plus compliquée.
Factorisez complètement 𝑥 moins six 𝑦 le tout au cube moins 216𝑦 au cube.
Bien que ça ne soit pas immédiatement évident, cette expression est écrite sous la forme 𝑎 au cube moins 𝑏 au cube. C’est la différence de deux cubes. Nous savons que la factorisation de 𝑎 au cube moins 𝑏 au cube est égale à 𝑎 moins 𝑏 fois 𝑎 au carré plus 𝑎𝑏 plus 𝑏 au carré. Le premier terme de notre expression est 𝑥 moins six 𝑦 le tout au cube. Cela signifie que 𝑎 au cube est égal à cela. Puisque prendre la racine cubique est l’opposé de prendre le cube, on peut prendre la racine cubique des deux membres de cette équation, ce qui nous donne une valeur de 𝑎 égale à 𝑥 moins six 𝑦. Notre second terme est 216𝑦 au cube ; par conséquent, 𝑏 au cube est égal à cela. Encore une fois, on peut prendre la racine cubique des deux membres de cette équation, ce qui nous donne 𝑏 comme étant égal à six 𝑦 comme la racine cubique de 216 est six.
On peut maintenant substituer nos valeurs de 𝑎 et 𝑏 dans le membre droit de la formule. On commence par 𝑎 moins 𝑏. Ce qui est égal à 𝑥 moins six 𝑦 moins six 𝑦. Cela se simplifie en 𝑥 moins 12𝑦. 𝑎 au carré sera égal à 𝑥 moins six 𝑦 le tout au carré. Ceci est égal à 𝑥 moins six 𝑦 fois 𝑥 moins six 𝑦. Ici, la distribution de nos parenthèses nous donne 𝑥 au carré moins six 𝑦𝑥 moins six 𝑦𝑥 plus 36𝑦 au carré. Cela peut être simplifié en 𝑥 au carré moins 12𝑦𝑥 plus 36𝑦 au carré. 𝑎𝑏 est égal à 𝑥 moins six 𝑦 fois six 𝑦. La distribution des parenthèses ici nous donne six 𝑦𝑥 moins 36𝑦 au carré.
Enfin, 𝑏 au carré est égal à six 𝑦 le tout au carré. Cela équivaut à 36𝑦 au carré. La substitution dans le remplacement de ces trois termes nous donne 𝑥 au carré moins 12𝑦𝑥 plus 36𝑦 au carré plus six 𝑦𝑥 moins 36𝑦 au carré plus 36𝑦 au carré. Cela peut être simplifié en 𝑥 au carré moins six 𝑦𝑥 plus 36𝑦 au carré. Six 𝑦𝑥 est la même chose que six 𝑥𝑦. Donc, la forme entièrement factorisée est 𝑥 moins 12𝑦 fois 𝑥 au carré moins six 𝑥𝑦 plus 36𝑦 au carré.
Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. On peut factoriser la somme de deux cubes et la différence de deux cubes en utilisant les formules suivantes. 𝑎 au cube plus 𝑏 au cube est égal à 𝑎 plus 𝑏 fois 𝑎 au carré moins 𝑎𝑏 plus 𝑏 au carré. 𝑎 au cube moins 𝑏 au cube au contraire est égal à 𝑎 moins 𝑏 fois 𝑎 au carré plus 𝑎𝑏 plus 𝑏 au carré. Avant d’utiliser l’une des deux formules, il est important de factoriser d’abord le plus grand commun diviseur des deux termes.