Vidéo de la leçon : Probabilités conditionnelles : tableaux à double entrée Mathématiques

Dans cette vidéo, nous apprendrons à manier le concept de probabilité conditionnelle en utilisant des fréquences conjointes présentées dans des tableaux à double entrée.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons à manier le concept de probabilité conditionnelle en utilisant des fréquences conjointes présentées dans des tableaux à double entrée.

Qu’entend-on par probabilité conditionnelle? Il s’agit de la probabilité qu’un événement ou une issue se produise en sachant qu’un événement ou une issue s’est précédemment produite. Par exemple, l’événement A est la pluie et l’événement B est le retard de votre train. En probabilité conditionnelle, on examine ces événements ensemble et on se pose des questions comme : quelle est la probabilité que le train soit en retard sachant qu’il pleut ? Voici comment ça s’écrit, ce trait vertical signifie sachant que.

On peut noter les résultats de ces événements dans un tableau à double entrée. C’est un tableau qui indique la fréquence de deux variables. Nous devons savoir remplir des tableaux à double entrée et s’en servir pour calculer des probabilités. Voyons donc à quoi ça ressemble.

Un site Web de fanzines de l’émission télévisée A Maze in Space collecte des données sur le nombre d’extraterrestres rencontrés par deux vaisseaux spatiaux à chaque saison de l’émission. Les données pour les saisons un, deux et sept sont notées dans le tableau ci-dessous, séparément pour les deux vaisseaux Zeta et Geoda. Trouvez la probabilité qu’un nouvel extraterrestre choisi au hasard ait été rencontré par le vaisseau spatial Geoda. Donnez votre réponse au millième près.

Nous cherchons la probabilité qu’un nouvel extraterrestre choisi au hasard ait été rencontré par le vaisseau spatial Geoda. Comme la saison n’est pas précisée, utilisons le total. Rappelons d’abord que la probabilité qu’un événement se produise se calcule en divisant le nombre de cas où cet événement se réalise par le nombre total de cas possibles. Donc, ici, nous allons trouver le nombre total d’extraterrestres rencontrés par le vaisseau Geoda. Puis nous diviserons ce nombre par le nombre total d’extraterrestres trouvés.

En regardant les totaux, nous voyons que le vaisseau spatial Geoda a découvert 72 extraterrestres au total. Le total est de 83. Ainsi, la probabilité qu’un nouvel extraterrestre choisi au hasard ait été trouvé par le vaisseau spatial Geoda est égale à 72 divisé par 83, soit 0,8674 etc. Arrondi au millième près, on trouve 0,867.

Voilà donc comment se calcule une probabilité simple à partir d’un tableau à double entrée. Voyons à présent comment trouver des probabilités conditionnelles à partir de ces tableaux.

Sachant qu’un nouvel extraterrestre a été trouvé lors de la saison sept, quelle est la probabilité qu’il ait été trouvé par le vaisseau spatial Geoda ? Donnez votre réponse au millième près.

L’expression « sachant que » indique qu’il s’agit de calculer une probabilité conditionnelle. Notons A l’événement : les extraterrestres ont été trouvés par le vaisseau spatial Geoda, et B l’événement : la rencontre a eu lieu lors de la saison sept. Utilisons donc ce trait vertical « sachant que ». Cela donne la probabilité que A se produise sachant que B s’est produit. L’expression « sachant que » permet de préciser les critères. On sait que l’extraterrestre a été trouvé lors de la saison sept. On ne s’intéresse donc qu’à ces trois données. Dans cette liste, on voit que le nombre d’extraterrestres trouvés par le vaisseau spatial Geoda est égal à huit.

Bien sûr, une probabilité s’obtient en divisant le nombre de cas où cet événement se réalise par le nombre total de cas possibles. Ici, ce nombre total est 13. La probabilité que A se produise sachant que B s’est produit est donc huit divisé par 13, ce qui vaut 0,61538 etc. En arrondissant au millième, on voit que, sachant qu’un nouvel extraterrestre a été trouvé lors de la saison sept, la probabilité qu’il ait été trouvé par le vaisseau spatial Geoda est de 0,615.

Passons à un autre exemple de calcul de probabilités à partir de tableaux à double entrée.

Le tableau ci-dessous contient les résultats d’une enquête auprès de joueurs passionnés à qui on a demandé si leur plate-forme de jeu préférée était le smartphone, la console ou le PC. Les joueurs sont répartis par sexe. Trouvez la probabilité qu’un joueur choisi au hasard préfère la console. Arrondissez votre réponse au millième près. Sachant qu’un joueur préfère la console, trouvez la probabilité qu’il soit de sexe masculin. Arrondissez votre réponse au millième près.

Rappelons d’abord que pour trouver la probabilité qu’un événement se produise, il faut diviser le nombre de cas où cet événement se réalise par le nombre total de cas possibles. La première partie de cette question demande la probabilité qu’un joueur choisi au hasard préfère utiliser une console. Elle ne précise pas si on s’intéresse aux joueurs de sexe masculin ou féminin. Nous allons donc calculer le total.

Commençons par calculer le nombre total de joueurs qui préfèrent utiliser un smartphone. Cela donne 52 plus 48, soit 100. De même, pour calculer le nombre total de joueurs qui préfèrent la console, on additionne 37 et 23, ce qui donne 60. Enfin, le nombre total de joueurs qui préfèrent le PC est égal à 48 plus 35, soit 83. Le nombre total de joueurs interrogés s’obtient en additionnant toutes les valeurs de cette colonne. Cela donne 100 plus 60 plus 83, soit 243.

Rappelons qu’on cherche à connaître la probabilité qu’un joueur choisi au hasard préfère la console. Ça correspond à la deuxième ligne. On a calculé le nombre total de cas ou le nombre total de joueurs, soit 243. La probabilité qu’un joueur choisi au hasard préfère la console vaut donc 60 divisé par 243, soit 0,2469 etc. On arrondit à 0,247.

La deuxième partie de cette question demande la probabilité qu’un joueur soit un homme, sachant qu’il préfère utiliser une console. Cette expression « sachant que » indique que nous recherchons une probabilité conditionnelle. Notons A l’événement : le joueur choisi est de sexe masculin et B l’événement : il préfère utiliser une console. On utilise un trait vertical pour signifier qu’on recherche la probabilité que A se produise sachant que B s’est produit. Ceci précise un peu les données.

On sait que le joueur préfère jouer en utilisant une console. On peut donc se limiter aux seules données sur les personnes qui préfèrent jouer avec une console. On cherche la probabilité qu’elles soient de sexe masculin. On va donc diviser le nombre de joueurs masculins qui disent préférer utiliser une console par le nombre total de joueurs qui disent préférer utiliser une console. Cela donne 37 divisé par 60. On trouve 0,61666 etc, ce qui, arrondi au millième, donne 0,617. La probabilité qu’un joueur soit de sexe masculin sachant qu’il préfère jouer avec une console est donc de 0,617.

Dans le prochain exemple, nous donnerons et apprendrons à utiliser la formule de probabilité conditionnelle.

Daniel et Jennifer se portent candidats à la présidence du syndicat étudiant de leur école. Les votes obtenus dans chacune des trois classes sont indiqués dans le tableau. Quelle est la probabilité qu’un étudiant ait voté pour Jennifer sachant qu’il est dans la classe B ?

N’oubliez pas que l’expression « sachant que » indique que nous parlons d’une probabilité conditionnelle. Notons A l’événement : un étudiant a voté pour Jennifer. Et B l’événement : l’étudiant est dans la classe B. Ce trait vertical signifie « sachant que ». On cherche la probabilité que A se produise sachant que B s’est produit. Pour ce faire, on peut réduire le tableau en fonction des informations fournies.

On sait que cet étudiant est dans la classe B, donc on se limite aux étudiants de la classe B. Ici, on s’intéresse au nombre d’étudiants ayant voté pour Jennifer. Il y en a 195. Rappelez-vous que pour trouver la probabilité qu’un événement se produise, on divise le nombre de cas où cet événement se réalise par le nombre total de cas possibles. Ici, le nombre total de résultats possibles est le nombre total d’élèves de la classe B. Cela donne 169 plus 195, soit 364. Ainsi, la probabilité qu’un étudiant ait voté pour Jennifer sachant qu’il est dans la classe B est de 195 sur 364, ce qui se simplifie en 15 sur 28.

Cette méthode est donc parfaitement valable pour répondre à la question. On peut aussi utiliser une formule. Pour trouver la probabilité de A sachant B, on divise la probabilité de l’intersection de A et B ⁠— autrement dit A inter B ⁠— par la probabilité de B. Que vaut donc ici A inter B ? Alors, A est le nombre d’élèves ayant voté pour Jennifer et B le nombre d’étudiants de la classe B. On cherche l’intersection : les étudiants qui ont voté pour Jennifer et qui sont dans la classe B. Il y en a 195.

La probabilité de choisir l’un d’entre eux au hasard s’obtient en divisant 195 par le nombre total d’étudiants votants. Soit 507 plus 494. Ce qui donne un total de 1001. Ainsi, la probabilité de A inter B, c’est-à-dire la probabilité qu’un étudiant ait voté pour Jennifer et soit dans la classe B, est de 195 sur 1001. Qu’en est-il de la probabilité de B, à savoir la probabilité qu’il soit dans la classe B ? On a déjà vu qu’il y avait 364 élèves dans la classe B. La probabilité que B se produise est donc de 364 divisé par 1001. Aisni, si on applique la formule, on obtient 195 sur 1001 divisé par 364 sur 1001. Notez qu’on obtient exactement la même réponse que précédemment, 195 sur 364, ce qui se simplifie en 15 sur 28.

Dans le dernier exemple, nous verrons comment utiliser les informations de tableaux à double entrée pour savoir si les deux événements sont indépendants.

Les données ont été collectées par l’émission de télévision A Maze in Space sur le nombre de nouveaux extraterrestres rencontrés. Le tableau ci-dessous présente les données pour le vaisseau spatial Zeta lors des saisons un, deux et sept. Les données ont également été classées selon si le membre d’équipage qui a établi le premier contact était un homme ou une femme. À partir du tableau, calculez la probabilité que le premier contact avec un nouvel extraterrestre ait été établi par une femme. Arrondissez votre réponse au millième près.

Nous cherchons la probabilité que le premier contact ait été fait par une femme. Appelons-la 𝑃 de F, où F est l’événement : c’est une femme qui a établi le premier contact. On sait que pour trouver la probabilité qu’un événement se produise, il faut diviser le nombre de cas où cet événement se réalise par le nombre total de cas possibles. Les informations sur les femmes de l’équipage se trouvent à la deuxième ligne. On sait, qu’au total, 37 premiers contacts ont été établis par des femmes de l’équipage.

Le nombre total de cas est le nombre total de premiers contacts avec un nouvel extraterrestre ; soit 72. La probabilité que le premier contact avec un nouvel extraterrestre ait été établi par une femme de l’équipage est donc 37 divisé par 72. Cela donne 0,5138 etc, ce qui, arrondi au millième, donne 0,514.

Passons maintenant à la deuxième partie de cette question.

La deuxième partie de cette question demande la probabilité que le premier contact se soit fait lors de la saison un et par une femme de l’équipage. Arrondissez votre réponse au millième près.

Cette fois, non seulement on s’intéresse au premier contact établi par une femme, mais il doit se produire lors de la première saison. Si F est l’événement : le membre d’équipage est une femme et que S un est l’événement : le premier contact s’est fait lors de la première saison, on cherche la probabilité de l’intersection de S un et de F. Rappelez-vous, c’est simplement S un inter F. Commençons par trouver le nombre de premiers contacts effectués lors de la première saison par une femme de l’équipage. On trouve 16. Le nombre total de premiers contacts établis est toujours de 72. Donc, la probabilité que le premier contact se fasse lors de la première saison et par une femme est de 16 divisé par 72. Cela donne 0,2 avec une infinité de 2, ce qui s’arrondit au millième à 0,222.

Passons à la troisième partie de cette question.

Sachant que le premier contact avec un extraterrestre choisi au hasard a eu lieu lors de la première saison, déterminez la probabilité que le premier contact ait été fait par une femme. Arrondissez votre réponse au millième près.

Cette expression « sachant que » est très utile car elle signifie qu’on nous demande une probabilité conditionnelle. On peut préciser l’ensemble de données. On sait que le premier contact établi avec un extraterrestre choisi au hasard a eu lieu lors de la première saison. On va donc se limiter aux données aux seuls résultats de la première saison. Ce trait vertical signifie « sachant que ». On voit qu’on cherche la probabilité que le premier contact ait été fait par une femme, sachant qu’il s’est produit lors de la première saison.

Or, lors de la première saison, 16 membres d’équipage ont établi un premier contact. Sur un total de 28. Donc, cette probabilité est égale à 16 divisé par 28, soit 0,5714 etc. Arrondi au millième près, c’est 0,571.

Passons maintenant à la quatrième et dernière partie de cette question.

L’événement S un, un premier contact lors de la première saison, et l’événement d’un premier contact fait par une femme, sont-ils indépendants ?

Pour rappel, deux événements sont indépendants si lorsque l’un d’eux se produit, cela n’affecte pas la probabilité que l’autre se produise. Bien qu’on puisse essayer de faire appel au bon sens, on peut aussi utiliser des formules. La première concerne deux événements A et B. Si ces événements sont indépendants, alors la probabilité de A inter B est égale à la probabilité de A multipliée par la probabilité de B. Autrement dit, la probabilité de A inter B est égale au produit de leurs deux probabilités respectives.

On peut aussi dire que si deux événements A et B sont indépendants, alors la probabilité que A se produise sachant B est égale à la probabilité que A se produise. Ainsi, on peut dire que si nos événements sont indépendants, alors la probabilité que le membre établissant un premier contact soit une femme sachant qu’il s’est réalisé lors de la première saison est égale à la probabilité que ce soit une femme. Voyons si cela est vrai.

Nous avons calculé que la probabilité que ce soit une femme qui établisse le premier contact sachant que celui-ci s’était fait lors de la saison un était de 0,571. Nous avons trouvé que la probabilité que ce soit une femme, en général, qui établisse le premier contact était de 0,514. Ces deux nombres ne sont pas égaux. On peut donc en conclure que non, ces événements ne sont pas indépendants. De même, on aurait pu utiliser l’autre formule. On a calculé la probabilité que ce soit une femme qui établisse le premier contact. La probabilité que le premier contact ait eu lieu lors de la première saison était de 0,222.

On a calculé que la probabilité que ce soit une femme était de 0,514. On pourrait calculer la probabilité que le premier contact ait eu lieu lors de la première saison. Cela fait 28 divisé par 72, ce qui donne 0,389. Or, si on calcule le produit 𝑃 de F par 𝑃 de S un, on obtient 0,199. Ce n’est pas égal à 0,222. Voilà donc une autre façon de montrer que ces événements ne sont pas indépendants.

Dans cette vidéo, nous avons appris qu’on peut utiliser un tableau à double entrée pour noter les fréquences des modalités de deux variables catégorielles. On a vu qu’on pouvait calculer les probabilités conditionnelles en consultant directement un tableau à double entrée. L’utilisation de l’expression « sachant que » indique qu’il faut affiner les résultats. Enfin, nous avons vu que pour deux événements A et B, on peut déterminer s’ils sont indépendants si la probabilité de A sachant B est égale à la probabilité de A. Si cela n’est pas égal, cela implique que A et B sont des événements dépendants.

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