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Vidéo question :: Déterminer l’argument d’un nombre complexe en radians Mathématiques • Troisième année secondaire

Déterminez l’argument du nombre complexe 2 - 7𝑖 en radians. Donnez la réponse au centième près.

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Transcription de la vidéo

Déterminez l’argument du nombre complexe deux moins sept 𝑖 en radians. Donnez la réponse au centième près.

Nous avons un nombre complexe sous forme algébrique. En général, nous pouvons dire qu’un nombre complexe est sous cette forme si nous l’écrivons sous la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖. On nous demande de trouver son argument. Nous allons commencer par considérer à quoi ressemble le nombre deux moins sept 𝑖 sur le plan complexe.

Rappelez-vous, ceci est une façon de représenter graphiquement des nombres complexes. Nous avons l’axe horizontal, qui représente la composante réelle de notre nombre. L’axe vertical représente sa partie imaginaire. Nous pouvons voir alors que le nombre deux moins sept 𝑖 doit se situer dans le quatrième quadrant. Si nous associons ce point à l’origine, l’argument est l’angle que forme cette droite avec l’horizontale.

En fait, nous mesurons cela dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Ainsi, cela nous indique que la valeur de notre argument, appelons-le 𝜃, va être négative. Nous prenons une valeur négative plutôt qu’une grande valeur de 𝜋 parce que nous représentons généralement nos nombres complexes en utilisant l'argument principal. C’est-à-dire que 𝜃 est strictement supérieur à moins 𝜋 et inférieur ou égal à 𝜋.

Ajoutons maintenant un triangle rectangle. Nous pouvons voir que le côté adjacent à l’angle interne 𝜃 doit être de deux unités. Le côté opposé de l’angle interne est de sept unités. Puisqu’il s’agit d’un triangle rectangle pour lequel nous connaissons la mesure de deux de ses côtés et que nous cherchons à trouver l’angle manquant, nous pouvons utiliser la trigonométrie de l’angle droit.

Ici, tangente 𝜃 est égal à l’opposé sur l’adjacent. Nous pouvons donc dire que, pour notre valeur de 𝜃, tangente 𝜃 est égal à sept sur deux. Nous résolvons cette équation pour 𝜃 en prenant la tangente réciproque des deux membres de l’équation. La tangente réciproque de tangente 𝜃 ou l’arctangente de tangente 𝜃 est 𝜃. Nous pouvons donc voir que 𝜃 est égal à la tangente réciproque de sept sur deux. Puisque notre calculatrice fonctionne en radians, nous obtenons que 𝜃 est égal à 1,2924 etc. Nous avons dit que notre valeur de 𝜃 doit être négative. Ainsi, 𝜃 est moins 1,29 radians.

Ceci est une méthode assez longue. En fait, nous pouvons la généraliser pour le nombre complexe sous la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖. Nous disons que, pour ce nombre complexe, son argument est l’arctangente ou la tangente réciproque de 𝑏 divisé par 𝑎. Voyons à quoi cela ressemble avec notre nombre complexe.

La constante 𝑎 ou la partie réelle est deux. Le coefficient de 𝑖 ou la composante imaginaire est moins sept. 𝑏 est moins sept. Ainsi, dans ce cas, nous disons que 𝜃 est égal à la tangente réciproque de moins sept sur deux. Si nous tapons cela dans notre calculatrice, nous obtenons moins 1,29 radians. Il est beaucoup plus pertinent d’utiliser cette formule pour trouver l’argument du nombre complexe. Cependant, nous pouvons utiliser un plan complexe pour vérifier notre réponse.

Dans ce cas, 𝜃 ou l’argument de notre nombre complexe est moins 1,29 radians.

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