Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, notre sujet est la combinaison d’incertitudes. Ce croquis illustre une personne qui s’enregistre pour son vol à l’aéroport. Mais d’après ses réponses aux questions de l’agent d’escale, on s’aperçoit que cette personne ne sait pas où elle va. Elle ne sait pas quand elle part. Et elle n’a pas sa carte d’identité sur elle. Tous ces facteurs se combinent et génèrent une incertitude générale encore plus grande au sujet de qui est cette personne et où elle se rend.
Comme nous le verrons par la suite, quelque chose de semblable se produit lorsque l’on combine des valeurs mesurées. Et dans cette leçon, nous allons apprendre les règles s’appliquant à ces combinaisons. Pour commencer, rappelons que toutes les valeurs mesurées comportent une certaine incertitude. En effet, tout appareil utilisé pour effectuer une mesure n’est pas infiniment précis. Par exemple, supposons qu’on mesure la taille de cette personne. Pour ce faire, on peut utiliser un ruban mesureur. Et bien qu’on soit très attentif pendant le processus de mesure, pour aligner le haut de la tête de la personne avec le ruban mesureur. Si on regarde de près le ruban mesureur, on constate que les repères sur ce dernier limitent la précision avec laquelle on peut mesurer la taille de cette personne.
Supposons que chacune de ces graduations sur notre règle indique une différence de longueur d’un centimètre. En regardant la ligne pointillée représentant la hauteur du sommet de la tête de la personne, on pourrait aller jusqu’à une décimale au-delà de cette précision pour estimer la taille de cette personne au dixième de centimètre près. Admettons que ceci nous donne une valeur de 165.4centimètres pour la taille de cette personne. Ce nombre est malgré tout un peu incertain. La taille réelle de cette personne pourrait être un peu plus grande ou un peu plus petite que cette valeur. Plus précisément, elle pourrait être un dixième de centimètre au-dessus ou un dixième de centimètre en dessous de la valeur que nous avons relevée.
Il est donc important d’inclure cette incertitude générale dans la valeur que l’on retient. On devrait dire que la taille de la personne mesurée est de 165.4 plus ou moins 0.1 centimètre. Ainsi, on remarque que les incertitudes sur les mesures sont liées aux limites de précision de nos appareils de mesure. Puisqu’aucun appareil de mesure n’est infiniment précis, il y aura toujours une certaine incertitude dans une valeur mesurée. Supposons à présent qu’en utilisant la même règle, on mesure la taille d’une deuxième personne, et que la taille de cette personne soit de 148,6 plus ou moins 0,1 centimètre. À ce stade, nous avons ces deux valeurs mesurées et qui ne sont pas liées entre-elles. Elles indiquent séparément la taille respective de chacune des deux personnes.
Mais que faire si l’on souhaite combiner ces hauteurs? Et si, grâce à un effort d’équilibre et de force impressionnant, la deuxième personne était capable de se tenir sur la tête de la première personne? Dans ce cas, pour obtenir la taille combinée de ces deux personnes, il faut combiner les deux valeurs mesurées. S’il s’agissait ici simplement de valeurs de taille sans incertitude, ce serait plutôt simple. Mais réfléchissons un instant à la façon dont il nous faut procéder, et comment inclure les incertitudes de nos valeurs mesurées.
Nous savons que la taille mesurée de la première personne comporte une incertitude d’un dixième de centimètre. Cela signifie que sa taille réelle pourrait être supérieure ou inférieure d’un dixième de centimètre à cette valeur retenue. Et il en va de même pour la taille de la deuxième personne. Sa taille pourrait également être supérieure ou inférieure à un dixième de centimètre de 148.6. Sachant cela, nous pouvons écrire les valeurs maximales et minimales possibles pour les tailles de ces deux personnes. À présent, si on additionne ces deux tailles maximales possibles, on ajoute effectivement les tailles de ces deux personnes avec 0.1 centimètre de hauteur supplémentaire pour chacune.
D’autre part, si on entreprend d’additionner les tailles minimales possibles de ces deux personnes, alors cette valeur serait égale aux tailles relevées moins 0.1 centimètre à nouveau pour chaque personne. Ce que l’on observe alors, c’est qu’en combinant les tailles de ces deux personnes, non seulement on additionne les valeurs mesurées de leurs tailles, mais on additionne également les incertitudes liées à ces tailles. Donc, si on combine les tailles de ces deux personnes et que l’on appelle cette taille combinée 𝑇 plus ou moins 𝐻, la taille totale sera égale à la taille de la première personne plus la taille de la deuxième personne. Et on déduit cette taille totale en additionnant les valeurs mesurées pour les deux personnes ainsi que les incertitudes des valeurs mesurées.
Cela nous donne un résultat de 314.0 plus ou moins 0.2 centimètres. Ce que l’on a ici est un exemple particulier qui peut toutefois être étendu à une règle générale. Faisons un peu de place pour écrire cette règle générale en toutes lettres. On peut dire que lors de l’addition ou de la soustraction de valeurs mesurées, les incertitudes des valeurs s’additionnent. Ainsi, voici comment ceci peut s’écrire mathématiquement. Il faut bien faire attention à la façon dont on lit cette notation.
Si on a une valeur – que l’on appelle 𝑣 1, et qui est égale à 𝑎 plus ou moins l’incertitude de 𝑎 - et si on a une deuxième valeur mesurée – qui est égale à 𝑏 plus ou moins l’incertitude de 𝑏. Puis, si on veut ajouter 𝑣 un et 𝑣 deux ou soustraire 𝑣 deux de 𝑣 un, cela nous donne un résultat de 𝑎 plus ou moins 𝑏, selon si on ajoute ou on soustrait 𝑣 un et 𝑣 deux. Donc, cette valeur a une incertitude qui est plus ou moins de l’incertitude de 𝑎 plus l’incertitude de 𝑏. Par ailleurs, cette règle consistant à additionner les incertitudes lorsqu’on additione ou soustrait des valeurs mesurées s’applique également si on a plus de deux valeurs mesurées.
Par exemple, si trois ou quatre personnes se tiennent les unes sur les autres, pour calculer leur taille totale, il faut additionner la taille de chaque personne plus les incertitudes de chacune de ces tailles. Jusque là, nous avons couvert l’addition et la soustraction de valeurs mesurées. Mais nous savons que l’on peut aussi les multiplier et diviser.
Par exemple, supposons que l’on ait une pièce vide dont on souhaite mesurer le volume. On mesure donc la largeur, la hauteur et la profondeur de la pièce. Cela nous donne ces valeurs. Dans chaque cas, nous avons une incertitude d’un dixième de mètre en fonction de la façon dont on a mesuré ces distances. Aussi, nous savons que pour trouver le volume de la pièce, il faut multiplier la hauteur avec la largeur et avec la profondeur. Mais alors, dans ce cas, est-ce que trouver l’incertitude totale dans ce volume consiste simplement à multiplier les incertitudes de chaque dimension? Il s’avère que non. Si cela était vrai, alors notre incertitude en volume serait de 0,1 mètre mulitplié trois fois par lui-même. Soit 0,1 mètre mis au cube, ce qui donne 0,001 mètre cube.
Mais cette incertitude est bien trop petite. Il est difficile de justifier comment on peut obtenir un nombre aussi précis à partir des dimensions mesurées de la pièce. Donc, cette approche pour calculer l’incertitude de notre volume n’est pas bonne. On ne peut pas simplement multiplier les incertitudes individuelles ensemble. En fait, avant de multiplier les dimensions de la pièce ensemble, il faut passer par une étape supplémentaire qui consiste à modifier les incertitudes de nos valeurs mesurées. Il faut les convertir en pourcentages. Autrement dit, on doit calculer quel pourcentage de 3.0 mètres représente 0.1 mètres et, de même, quel pourcentage de 4.7 représente 0.1 et de ainsi de suite avec la dernière dimension de la pièce.
Lors de cette étape, on trouve que 0.1 vaut 1.8 pour cent de 5.5, 2.1 pour cent de 4.7, et et 3.3 pour cent de 3.0. Notez que nous n’avons apporté aucune modification numérique à ces valeurs mesurées; nous les exprimons simplement différemment mais d’une manière équivalente. Ceci étant fait, on peut alors calculer le volume de cette pièce en multipliant ensemble 3,0 mètres par 4,7 mètres par 5,5 mètres, puis en additionnant les incertitudes en pourcentage pour chaque valeur mesurée. Voici comment procéder. Le volume de notre pièce est de 3.0 mètres fois 4.7 mètres fois 5.5 mètres plus ou moins 3.3 pour cent plus 2.1 pour cent plus 1.8 pour cent. Et notez que nous ne multiplions pas ces pourcentages ensemble, mais plutôt que nous les additionnons
En gardant deux chiffres significatifs dans nos calculs, on obtient 78 mètres cubes plus ou moins 7.2 pour cent de ce volume. À présent, si on souhaite formuler notre réponse finale avec une incertitude écrite en mètres cubes, plutôt que sous forme de pourcentage, il suffit de calculer 7.2 pour cent de 78 mètres cubes. Ce qui nous donne un résultat final de 78 plus ou moins 5.6 mètres cubes. Ceci est donc le volume correctement calculé de cette pièce, en tenant compte des incertitudes de chaque dimension. Comme dans le cas précedent, ceci est un exemple particulier illustrant une règle générale. Écrivons ici la règle s’appliquant à la multiplication et à la division des valeurs mesurées avec leurs incertitudes.
Chaque fois que l’on multiple ou que l’on divise des valeurs mesurées, leurs pourcentages d’incertitudes s’additionnent pour donner l’incertitude totale. Ceci peut s’écrire mathématiquement comme suit. Supposons que nous ayons trois valeurs, 𝑎 avec sa propre incertitude, 𝑏 qui a également sa propre incertitude, et 𝑐. Si 𝑐 est égal au produit de 𝑎 et 𝑏, alors l’incertitude de 𝑐, ce produit, divisé par 𝑐 est égal à l’incertitude de 𝑎 divisée par 𝑎 plus l’incertitude de 𝑏 divisée par 𝑏. Cette équation peut sembler un peu déroutante étant donné qu’on avait aparavant parlé de pourcentages que l’on additionne. Mais en réalité, cette équation se réfère à des pourcentages, bien qu’on ne puisse pas directement s’en apercevoir..
Si on multiplie les deux côtés de l’équation par 100 pour cent, chacun des termes de cette équation se voit transformé en un pourcentage d’incertitude. D’abord, le pourcentage d’incertitude de 𝑐, puis de 𝑎, puis de 𝑏. Mais comme ce facteur de 100 pour cent est commun à tous les termes, on peut l’annuler. Ce qui nous donne cette expression simplifiée. Il convient de noter que, bien que cette expression s’applique ici à multiplier deux valeurs pour donner la troisième, on pourrait tout aussi bien l’utiliser pour effectuer une division. Par exemple, si on divise 𝑎 par 𝑏, cela ne change rien à cette équation ni au calcul de l’incertitude totale qui en résulte.
Jusqu’à présent, on a vu comment calculer l’incertitude totale lors d’une addition, d’une soustraction, d’une multiplication et d’une division. Cependant, il existe un cas particulier, que nous allons voir ci-après. Ce cas particulier se produit lorsque l’on souhaite élever un nombre à une puissance entière. Pour citer un exemple, supposons que toutes les dimensions de notre pièce soient les mêmes. Elles sont toutes de 3.0 mètres, ce qui signifie que toutes les dimensions de la pièce ont la même incertitude, égale à 3,3 pour cent. Dans ce cas, selon cette règle et ce que nous avons appris jusque là, on peut calculer l’incertitude totale du volume de cette pièce en additionnant 3,3% avec 3,3% avec 3,3%, ce qui nous donne 9,9%.
Cependant, on s’aperçoit, que ceci est mathématiquement équivalent à prendre ce pourcentage d’incertitude, 3,3 pour cent, et à le multiplier par trois. Et le nombre trois a une signification bien particulière lorsqu’il s’agit de calculer le volume d’un objet. En effet, pour un objet cubique, comme dans cet exemple, le volume de l’objet est égal à la longueur de chaque côté élevé au cube. Or, il s’avère que le fait que ce nombre ci et ce nombre ci soient les mêmes, n’est pas une coïncidence. Une fois de plus, il s’agit d’un exemple particulier d’une règle générale permettant de calculer les incertitudes lorsqu’un nombre est élevé à une puissance entière. On peut écrire cela de cette façon.
On peut dire que lorsqu’on élève une valeur mesurée à une puissance entière, l’incertitude totale est égale à cette puissance multipliée par le pourcentage d’incertitude de la valeur mesurée. C’est un énoncé plutôt indigeste! Mais si on écrit ceci avec des symboles, cela signifie simplement que si on calcule la puissance entière d’une valeur, on appellera cette valeur 𝑥 et la puissance entière 𝑏. Alors, l’incertitude du résultat de ce calcul, l’incertitude de 𝑦, peut être trouvée grâce à cette équation. Et on voit que cette équation multiplie l’incertitude fractionnaire de 𝑥 par cette puissance 𝑏.
Comme nous l’avons noté, cette règle est un cas vraiment particulier de la règle que l’on a vue précédemment pour la multiplication et la division. Lorsque l’on multiplie des valeurs identiques, les deux approches fourniront la bonne réponse. La différence est que l’une d’entre elles, par exemple, nous fait additionner le pourcentage d’incertitude autant de fois qu’il apparaît, tandis que l’autre approche, celle que l’on vient juste de voir, prend ce pourcentage d’incertitude et le multiplie par le nombre de fois où l’incertitude est présente. Quoiqu’il en soit, on arrive au même résultat final. Maintenant que nous avons appris différentes façons de combiner les incertitudes, exerçons-nous avec avec un exemple.
Deux résistances ont pour valeurs 20 ohms plus ou moins 0.1 ohms et 80 ohms plus ou moins 0.2 ohms. Si les deux résistances sont placées en série, quelle est l’incertitude combinée des deux résistances?
Bien, donc dans cet exemple, nous avons deux résistances. Disons que celle-ci est la première, et que celle-ci est la deuxième. On nous dit que ces deux résistances sont placées en série l’une avec l’autre. Et on nous donne la valeur de chacune de leur résistance. On note également que ces résistances présentent une incertitude, 0.1 ohms pour l’une et 0.2 ohms pour l’autre. Rappelons que lorsque des résistances sont placées en série, comme elles le sont ici, leurs résistances s’additionnent pour donner la valeur combinée de la résistance totale. Si ces valeurs de résistance étaient données sans incertitudes, il serait très facile d’ajouter 20 ohms à 80 ohms ce qui donnerait une résistance totale de 100 ohms. Mais dans ce cas, nous avons des incertitudes qu’il faut également prendre en compte.
Pour ce faire, rappelons la règle précédente de combinaison des incertitudes, en particulier celle qui permet d’ajouter deux valeurs. Supposons qu’on a une valeur. Qu’on appelle 𝑣 indice 1. Elle est est égale à 𝑎 plus ou moins l’incertitude de 𝑎. De même, on a une deuxième valeur, 𝑣 deux, qui est égale à 𝑏 plus ou moins l’incertitude de 𝑏. À présent, si on souhaite ajouter 𝑣 un à 𝑣 deux, il faut alors ajouter 𝑎 et 𝑏 puis, additionner également leurs incertitudes. On peut donc appliquer cette règle à notre exemple particulier, en ajoutant les valeurs de ces deux résistances.
Si on cherche la résistance totale, qu’on appellera grand 𝑅, qui résulte de la combinaison de ces deux résistances, alors selon la règle de calcul, elle est égale à 20 plus 80 plus ou moins 0.1 plus 0.2 ohms ou, en d’autres termes, 100 plus ou moins 0.3 ohms. Or, ce n’est pas la résistance totale 𝑅 que l’on cherche, mais plutôt l’incertitude totale de ces deux résistances combinées. Cependant, en calculant R, on vient de trouver cette incertitude totale. On voit qu’elle est égale à la somme des incertitudes individuelles. Son total est de 0.3 ohms.
Résumons maintenant ce que nous avons appris sur la combinaison des incertitudes. Nous avons d’abord vu que lorsque l’on mesure des valeurs comportant toutes des incertitudes, et qu’on les additionne ou soustrait les unes aux autres, alors leurs incertitudes s’ajoutent. Mathématiquement, si 𝑐 est égal à 𝑎 plus ou moins 𝑏, où 𝑎 et 𝑏 sont des valeurs mesurées comportant des incertitudes, alors l’incertitude de cette somme ou différence est égale à l’incertitude de 𝑎 plus l’incertitude de 𝑏. Il s’agit ici de la première règle apprise, permettant de combiner des incertitudes.
La deuxième règle que nous avons étudiée établit que lorsque des valeurs mesurées sont multipliées ou divisées, leurs pourcentages d’incertitudes s’additionnent. En écrivant ceci sous forme de symboles, si 𝑐 est égal à 𝑎 fois 𝑏 ou 𝑐 est égal à 𝑎 divisé par 𝑏, où 𝑎 et 𝑏 sont des valeurs mesurées, alors l’incertitude de 𝑐 divisée par 𝑐 est égale à l’incertitude de 𝑎 divisée par 𝑎 plus l’incertitude de 𝑏 divisée par 𝑏. Et rappelons que ces incertitudes fractionnaires peuvent être aisément transformées en pourcentages d’incertitudes. Il suffit de multiplier les deux côtés de l’équation par 100 pour cent.
Enfin, nous avons étudié un cas particulier de cette règle de multiplication. Lorsqu’une valeur mesurée, notée 𝑎, est élevée à une puissance entière, notée 𝑛, alors l’incertitude fractionnaire du résultat est égale à 𝑛 fois l’incertitude fractionnaire de 𝑎. Ceci résume la combinaison d’incertitudes.