Vidéo question :: Déterminer la mesure de l’angle entre deux droites en trois dimensions étant données de leurs équations Mathématiques

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Déterminez la mesure de l'angle formé par les deux droites d'équations 𝐫 un est égal à deux septièmes, moins deux tiers, moins un plus 𝐭 un multiplié par moins deux septièmes, moins quatre tiers, neuf cinquièmes et moins six 𝑥 moins deux sur sept égal quatre 𝑦 moins trois sur moins six, égal trois moins huit 𝑧 sur moins cinq.

Comme l’angle entre deux droites dans l’espace est l’angle entre leurs vecteurs directeurs, nous commençons par trouver les vecteurs directeurs des deux droites. Nous pouvons ensuite utiliser la formule suivante pour trouver la mesure de l’angle entre les deux droites. Cosinus 𝜃 est égal à la norme du produit scalaire de 𝐝 un et 𝐝 deux divisée par la norme de 𝐝 un multipliée par la norme de 𝐝 deux, où 𝐝 un et 𝐝 deux sont les vecteurs directeurs. La première des droites est donnée sous forme vectorielle, où 𝐫 est égal à 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un plus 𝜆 multiplié par 𝑎, 𝑏, 𝑐, où la droite passe par un point de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et a comme vecteur directeur 𝑎, 𝑏, 𝑐. Si nous considérons que cette première droite est 𝑙 un, son vecteur directeur 𝐝 un est égal à moins deux septièmes, moins quatre tiers, neuf cinquièmes.

Ensuite, nous rappelons que la forme cartésienne d’une droite est 𝑥 moins 𝑥 un sur 𝑎 égale 𝑦 moins 𝑦 un sur 𝑏, ce qui est égal à 𝑧 moins 𝑧 un, sur 𝑐, où une fois de plus la droite passe par le point de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et admet comme vecteur directeur le vecteur de composantes 𝑎, 𝑏 et 𝑐. La deuxième droite est donnée dans une forme similaire à celle-ci. Cependant, les coefficients de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 ne sont pas égaux à un. Pour écrire cette équation sous forme cartésienne, nous divisons chaque terme de la première fraction par moins six, chaque fraction de la deuxième expression par quatre et chaque terme de la troisième fraction par moins huit.

Diviser chaque terme de moins six 𝑥 moins deux sur sept par moins six nous donne 𝑥 plus un tiers sur moins sept sixièmes. Cela est égal à 𝑦 moins trois quarts sur moins trois sur deux, ce qui est égal à 𝑧 moins trois huitièmes sur cinq huitièmes. En comparant cela à la forme générale, nous savons que les dénominateurs de nos trois expressions sont les composantes du vecteur directeur. Le vecteur directeur 𝐝 deux est égal à moins sept sixièmes, moins trois moitiés, cinq-huitièmes.

Nous pouvons maintenant calculer le produit scalaire de 𝐝 un et 𝐝 deux ainsi que la norme de chacun des vecteurs directeurs. Pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs, nous calculons la somme des produits de leurs composantes correspondantes. Dans ce cas, nous avons moins deux septièmes multipliés par moins sept sixièmes plus moins quatre tiers multipliés par moins trois demis plus neuf cinquièmes multipliés par cinq huitièmes. Cela se simplifie en un tiers plus deux plus neuf huitièmes, c’est-à-dire 83 sur 24. Puisque cette valeur est positive, la valeur du produit scalaire des vecteurs directeurs 𝐝 un et 𝐝 deux est de 83 sur 24.

Ensuite, nous pouvons trouver la norme du vecteur directeur 𝐝 un. Elle est égale à la racine carrée de la somme des carrés des différentes composantes. Nous avons la racine carrée de quatre sur 49 plus 16 sur neuf plus 81 sur 25. L’addition des trois fractions nous donne 56221 sur 11025 et la norme du vecteur directeur 𝐝 un est égale à la racine carrée de cela. Nous pouvons maintenant répéter ce processus pour trouver la norme du vecteur directeur 𝐝 deux. Cela est égal à la racine carrée de 49 sur 36 plus neuf sur quatre plus 25 sur 64, ce qui est égal à la racine carrée de 2305 sur 576.

Bien que cela ne soit pas requis dans cette question, nous pourrions les simplifier davantage en utilisant notre connaissance des radicaux. Lorsque l’on prend la racine carrée d’une fraction, nous pouvons prendre la racine carrée des numérateurs et des dénominateurs séparément. Et puisque la racine carrée de 11025 est 105 et la racine carrée de 576 est 24, les normes de 𝐝 un et 𝐝 deux peuvent être simplifiées comme suit.

Nous pouvons maintenant remplacer pas nos trois valeurs pour trouver une expression de cosinus 𝜃. Cela est égal à 83 sur 24 divisé par la racine carrée de 56221 sur 105 multiplié par la racine carrée de 2305 sur 24. Nous pouvons alors prendre la fonction réciproque de cosinus des deux côtés de cette équation, ce qui nous donne que 𝜃 est égal à 40,042626 etcetera. Bien que nous puissions arrondir cela, nous pouvons également le convertir en degrés, minutes et secondes. Cela peut être fait directement sur notre calculatrice en utilisant le bouton des degrés, minutes et secondes.

Alternativement, comme il y a 60 minutes dans un degré, nous pouvons multiplier la partie décimale de notre réponse par 60. Et comme il y a 60 secondes dans une minute, nous répétons ensuite ce processus pour donner notre réponse finale en degrés, minutes et secondes. La mesure de l’angle entre les deux droites données est de 40 degrés, deux minutes et 33 secondes à la seconde près.