Transcription de la vidéo
Une balle au bout d’une corde de masse négligeable se déplace uniformément le long d’une trajectoire circulaire d’un rayon de 0,48 mètre. L’accélération centripète de la balle est de 63 mètres par seconde au carré. À un point où la corde fait un angle de 33 degrés au-dessus de l’horizontale, le corde se casse alors qu’elle se déplace vers le bas. À ce stade, la balle se trouve verticalement à 1,5 mètre au-dessus du sol. Trouvez la distance horizontale entre la position de la balle lorsque la corde casse et sa position quand elle entre en contact avec le sol.
Cette question nous demande la distance horizontale qu’une balle parcourt avant de toucher le sol après que la corde se soit rompue en ce point. On nous donne l’accélération centripète de la balle, ainsi que le rayon de la trajectoire circulaire sur laquelle elle se déplace. Rappelons que l’équation de l’accélération centripète est 𝑎 c est égale à 𝑣 au carré sur 𝑟, avec 𝑣 le vecteur vitesse et 𝑟 le rayon.
Maintenant, lorsque la corde se casse, nous pouvons utiliser cette formule pour déterminer le vecteur vitesse de la balle à ce moment-là, mais après cela, la balle suivra un arc parabolique vers le bas. Donc, elle aura à la fois un vecteur vitesse horizontal et un vertical. Cela signifie que nous devons également utiliser les équations pour le mouvement parabolique.
Maintenant, notons que l’accélération centripète ne modifie pas l’intensité du vecteur vitesse, mais seulement son sens. Ainsi, lorsque la corde se casse, la balle sort avec une certaine vitesse 𝑣, que nous pouvons déterminer en utilisant l’équation de la force centripète. Trouver 𝑣 nous oblige à multiplier les deux côtés par 𝑟, ce qui annule 𝑟 du côté droit. Ensuite, nous prenons la racine carrée des deux côtés pour annuler le carré pour 𝑣.
Alors, on nous donne une accélération centripète de 63 mètres par seconde au carré et un rayon de 0,48 mètre. En utilisant ces valeurs dans l’équation et en calculant, cela nous donne une valeur du vecteur vitesse de 5,5 mètres par seconde. Puisque ce vecteur vitesse provient d’une accélération centripète, le vecteur vitesse doit être tangentiel à la trajectoire circulaire sur laquelle la balle se déplaçait et est donc tangentiel au point 𝐴, où la corde se casse.
Lorsque la corde se casse, la force de la tension est nulle. Donc, la seule force sur la balle à ce moment-là sera la gravité. Cela signifie qu’ici, nous pouvons considérer cette balle comme ayant simplement une trajectoire parabolique typique, avec un vecteur vitesse initial de 5,5 mètres par seconde, une hauteur de 1,5 mètres et une accélération due à la gravité de 9,8 mètres par seconde au carré. Nous pouvons tracer la trajectoire approximative que la balle va parcourir jusqu’à ce qu’elle atteigne le sol.
Maintenant, nous devons connaître les intensités des vecteurs vitesse horizontal et vertical. Nous pouvons les calculer en utilisant l’angle de 33 degrés que l’on nous donne. Cependant, nous n’utiliserons pas le triangle qui nous est donné, mais plutôt ce triangle ici, où l’hypoténuse correspond au sens du vecteur vitesse. L’angle de 33 degrés est également le même ici, car ce sont les mêmes triangles. Maintenant, en utilisant ce triangle, le vecteur vitesse multiplié par le cosinus de 33 degrés donnera la composante verticale du vecteur vitesse, 𝑣 𝑦, tandis que le sinus de 33 degrés donnera la composante horizontale, 𝑣 𝑥.
En utilisant notre valeur du vecteur vitesse de 5,5 mètres par seconde, et en calculant, nous obtenons que le vecteur vitesse horizontal est de 2,995 mètres par seconde et le vecteur vitesse vertical est de 4,612 mètres par seconde. Nous définissons ensuite notre vecteur vitesse vertical comme étant négatif, car il est ici vers le bas.
Enfin, rappelons les équations du mouvement parabolique. La position horizontale, 𝑥, est égale à la position horizontale initiale, 𝑥 zéro, plus le vecteur vitesse horizontal initial, qui est 𝑣 𝑥 dans ce cas, multiplié par le temps pendant lequel la balle est en l’air, 𝑡. La position verticale 𝑦 est donnée par la position verticale initiale 𝑦 zéro plus le vecteur vitesse vertical initial 𝑣 𝑦 fois le temps plus un demi de l’accélération due à la gravité 𝑔 fois 𝑡 au carré. Dans ce cas, la gravité sera négative, car elle applique une force vers le bas.
Maintenant, nous voulons trouver la distance horizontale totale à partir de laquelle la balle se déplace lorsque la corde casse, ce qui sera simplement la position horizontale. Puisque la distance horizontale initiale, 𝑥 zéro, est égale à zéro et que le vecteur vitesse horizontal ne changera pas, l’équation ressemblera simplement à 𝑥 égale 𝑣 𝑥 𝑡. Nous connaissons déjà 𝑣 𝑥, donc tout ce dont nous avons besoin maintenant est 𝑡, que nous pouvons obtenir avec l’équation pour la position verticale. Nous voulons savoir quand la balle touche le sol. Nous devons donc définir notre position verticale par rapport à zéro, ce qui nous laisse avec zéro égal à 𝑦 zéro plus 𝑣 𝑦 𝑡 plus un demi 𝑔𝑡 au carré. Notre position verticale initiale est la hauteur, qui est de 1,5 mètre. Le vecteur vitesse vertical initial est moins 4,612 mètres par seconde. Et l’accélération gravitationnelle est moins 9,8 mètres par seconde au carré. Alors, utilisons ces données.
Maintenant, cela devrait commencer à sembler familier. Nous allons devoir utiliser la formule quadratique pour trouver 𝑡, où la variable, dans ce cas 𝑡, est égale à moins 𝑏 plus ou moins la racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 le tout divisé par deux 𝑎, avec 𝑎 étant le terme associé à 𝑡 au carré, moins un demi de 9,8, qui est juste moins 4,9. 𝑏 est le terme associé à 𝑡, moins 4,612. Et 𝑐 est la constante, 1,5. En utilisant ces valeurs et en calculant, nous obtenons moins 0,4706 seconde plus ou moins moins 0,7263 seconde.
Le temps doit être supérieur à zéro car il ne peut pas être négatif. Ainsi, le temps doit être moins 0,4706 seconde moins moins 0,7263 seconde, ce qui est égal à 0,2557 seconde. Nous pouvons maintenant utiliser cela dans notre équation pour la distance horizontale totale parcourue, avce le vecteur vitesse horizontal. 2,995 mètres par seconde fois 0,2557 seconde est égal à 0,767 mètre, qui, arrondi au centième, est 0,77 mètre.
Par conséquent, la distance horizontale à partir de laquelle la balle se déplace lorsque la corde se casse jusqu’à ce qu’elle touche le sol est de 0,77 mètre.