Transcription de la vidéo
Un objet se déplace le long d’une ligne droite. Lorsque l’objet se déplace, il est soumis à une force constante. Le diagramme montre le déplacement de l’objet, 𝐝, et la force agissant sur lui, 𝐅. Chacun des carrés du quadrillage sur la figure a un côté de longueur 1 en mètres et en newtons. Calculez 𝐅 scalaire 𝐝.
Cette question nous présente un diagramme montrant deux vecteurs étiquetés 𝐝 et 𝐅. La question nous dit que 𝐝 est le déplacement d’un objet et 𝐅 est la force agissant sur cet objet. On nous dit aussi que cette force 𝐅 est constante, ce qui signifie qu’elle ne change pas avec le temps. La question nous demande de déterminer le produit scalaire 𝐅 scalaire 𝐝. Donc, c’est le produit scalaire de la force 𝐅 agissant sur notre objet et du déplacement 𝐝 de cet objet.
Nous pouvons rappeler que le produit scalaire de la force et du déplacement nous donne le travail effectué sur l’objet par la force. Si la force est mesurée en newtons et que le déplacement est mesuré en mètres, le produit scalaire de la force et du déplacement sera exprimé en newton mètres, ce qui équivaut à des joules, l’unité d’énergie. Puisque cette question nous demande de calculer un produit scalaire, nous devons également rappeler la définition du produit scalaire de deux vecteurs.
Nous allons considérer deux vecteurs généraux que nous appellerons 𝐀 et 𝐁. Si nous supposons que ces deux vecteurs se trouvent dans le plan 𝑥𝑦, alors nous pouvons les écrire sous forme de composante comme une composante 𝑥 notée avec un indice 𝑥 multipliée par 𝐢 chapeau plus une composante 𝑦 notée avec un indice 𝑦 multipliée par 𝐣 chapeau. Rappelez-vous que 𝐢 chapeau est le vecteur unitaire dans la direction 𝑥 et 𝐣 chapeau est le vecteur unitaire dans la direction 𝑦. Ensuite, le produit scalaire 𝐀 scalaire 𝐁 est donné par la composante 𝑥 de 𝐀 multipliée par la composante 𝑥 de 𝐁 plus la composante 𝑦 de 𝐀 multipliée par la composante 𝑦 de 𝐁. En d’autres termes, le produit scalaire de deux vecteurs est donné par le produit des composantes 𝑥 des vecteurs plus le produit de leurs composantes 𝑦.
Cette expression générale pour le produit scalaire de deux vecteurs nous dit que si nous voulons calculer le produit scalaire 𝐅 scalaire 𝐝, alors nous devons trouver les composantes 𝑥 et 𝑦 de nos vecteurs 𝐅 et 𝐝. Ces vecteurs nous sont donnés sous la forme de flèches tracées sur un diagramme. Et la question nous dit que les carrés dans ce diagramme ont un côté de longueur de un en mètres et en newtons. Cela signifie que lorsque nous parlons du vecteur 𝐝, alors un carré dans le diagramme signifie un mètre, et lorsque nous parlons de 𝐅, alors un carré est un newton.
Si nous ajoutons un ensemble d’axes à notre diagramme avec l’origine positionnée à la queue des deux vecteurs, alors nous pouvons facilement lire le nombre de carrés dont chaque vecteur s’étend dans la direction 𝑥 et dans la direction 𝑦. Puisque nous savons que pour notre vecteur 𝐝 chaque carré correspond à un mètre et que pour 𝐅 chaque carré correspond à un newton, alors le nombre de carrés dont chaque vecteur s’étend dans les directions 𝑥 et 𝑦 nous donne directement les composantes 𝑥 et 𝑦 de ce vecteur.
Alors, comptons le nombre de carrés dont chacun de nos vecteurs s’étend. Nous allons commencer par le vecteur 𝐅. Nous voyons que 𝐅 s’étend de deux carrés dans le sens positif suivant 𝑥 et de quatre carrés dans le sens positif suivant 𝑦. Puisque pour le vecteur 𝐅, un carré correspond à un newton, alors nous savons que la composante 𝑥 de 𝐅 est de deux newtons et la composante 𝑦 est de quatre newtons. Ainsi, sous forme de composant, 𝐅 devient deux newtons 𝐢 chapeau plus quatre newtons 𝐣 chapeau.
Maintenant, nous allons faire la même chose pour le vecteur 𝐝. Nous voyons que 𝐝 s’étend de huit carrés dans le sens positif suivant 𝑥 et de trois carrés dans le sens positif suivant 𝑦. Pour le vecteur 𝐝, un carré correspond à un mètre. Ainsi, la composante 𝑥 de 𝐝 est de huit mètres et la composante 𝑦 est de trois mètres. Sous forme de composantes, nous avons que 𝐝 est égal à huit mètres 𝐢 chapeau plus trois mètres 𝐣 chapeau.
Maintenant que nous avons nos deux vecteurs 𝐅 et 𝐝 écrits sous forme de composantes, nous sommes prêts à calculer le produit scalaire 𝐅 scalaire 𝐝. En regardant notre expression générale pour le produit scalaire, nous voyons que le premier terme est donné par le produit des composantes 𝑥 des vecteurs. Donc, pour notre produit scalaire 𝐅 scalaire 𝐝, c’est la composante 𝑥 de 𝐅, qui est deux newtons, multipliée par la composante 𝑥 de 𝐝, qui est de huit mètres. Ensuite, nous ajoutons à cela un deuxième terme donné par le produit des composantes 𝑦. Dans notre cas, c’est la composante 𝑦 de 𝐅, qui est de quatre newtons, multipliée par la composante 𝑦 de 𝐝, qui est de trois mètres.
Tout ce qui reste à faire maintenant est de calculer cette expression ici. Le premier terme est deux newtons multipliés par huit mètres, ce qui donne 16 newton mètres. Et le deuxième terme est quatre newtons multipliés par trois mètres, ce qui donne 12 newton mètres. L’addition de 16 newton mètres et de 12 newton mètres donne le résultat de 28 newton mètres.
Alors, nous avons déjà dit que lorsque nous calculons le produit scalaire 𝐅 scalaire 𝐝, nous obtenons le travail effectué sur l’objet par la force. Ce travail effectué a des unités d’énergie, et en particulier lorsque la force est mesurée en newtons et le déplacement est mesuré en mètres, alors le travail effectué a des unités de joules puisque un newton mètre est égal à un joule. Cela signifie que nous pouvons prendre notre résultat de 28 newton mètres et l’écrire comme 28 joules. Et donc, notre réponse finale est que le produit scalaire 𝐅 scalaire 𝐝, qui nous donne la quantité de travail effectuée par la force 𝐅 sur l’objet, est égal à 28 joules.
