Vidéo question :: Déterminer les coordonnées d’un point qui appartient à la courbe d’une fonction réciproque étant donnée la courbe de la fonction elle-même Mathématiques

Transcription de la vidéo

Voici la courbe représentative de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 moins deux au carré plus trois sur l’intervalle fermé à gauche, ouvert à droite, deux jusqu’à ∞. Lequel des points 𝐴 trois, un ; 𝐵 sept, quatre ; et 𝐶 neuf, cinq se trouve sur la courbe représentative de sa fonction réciproque, 𝑓 moins un de 𝑥 ?

Tout d’abord, nous devons rappeler que si une fonction 𝑓 de 𝑥 est inversible, de sorte que sa fonction réciproque existe, alors la représentation graphique de 𝑦 est égale à 𝑓 moins un de 𝑥 est obtenue par symétrie axiale du graphique de 𝑦 égal 𝑓 de 𝑥 le long de la droite d’équation 𝑦 est égale à 𝑥. Cela a pour effet de changer les rôles de 𝑥 et 𝑦 dans l’équation de la fonction. Par conséquent, il s’ensuit que n’importe quelle coordonnée d’une fonction réciproque peut être trouvée en échangeant les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du point correspondant sur la représentation graphique de la fonction initiale. Ainsi, par exemple, un point de coordonnées 𝑎, 𝑏 sur la courbe de 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥 est transformé en le point 𝑏, 𝑎 sur la courbe de 𝑦 est égal à 𝑓 réciproque de 𝑥.

Ainsi, pour déterminer si l’un des points 𝐴, 𝐵 ou 𝐶 se trouve sur la représentation graphique de la fonction réciproque 𝑦 est égal à 𝑓 réciproque de 𝑥, nous devons inverser chaque paire de coordonnées et déterminer lequel de ces points se trouve sur la représentation graphique de 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥. L’échange des valeurs 𝑥 et 𝑦 pour chaque paire de coordonnées donne les points un, trois ; quatre, sept ; et cinq, neuf. Nous pouvons alors tracer chacun de ces points sur le repère cartésien donné et identifier lequel, le cas échéant, des trois points se trouve sur la courbe de 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥.

Le point de coordonnées un, trois se trouve ici, ce qui n’est pas sur la courbe de 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥. Le point de coordonnées quatre, sept se trouve ici et il se trouve sur la courbe de 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥. Enfin, le point de coordonnées cinq, neuf est situé ici, ce qui n’est pas sur la représentation graphique 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥. Cela signifie que le point 𝐵 est le seul parmi les trois points qui vont appartenir à la courbe de 𝑦 est égal à 𝑓 moins un de 𝑥 car si nous échangeons les valeurs 𝑥 et 𝑦, il s’agit du seul point qui se trouve sur la courbe de 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥.

Nous pouvons également tracer graphiquement la droite d’équation 𝑦 égale 𝑓 moins un de 𝑥 en effectuant une symétrie axiale de 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥 dans la droite d’équation 𝑦 est égal à 𝑥. Si nous le faisons, nous voyons que le point 𝐵, qui a les coordonnées sept, quatre, se trouve bien sur cette droite. Notre réponse est alors que ce n’est que le point 𝐵 qui appartient à la représentation graphique de la fonction réciproque 𝑓 moins un de 𝑥.