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Vidéo question :: Étude de l’équilibre d’une barre sous l’action de quatre forces Mathématiques • Troisième année secondaire

𝐴𝐵 est une barre d’un poids négligeable et de longueur 54 cm. Elle est suspendue horizontalement par une épingle en son milieu. Des forces d’intensité 68√3 N agissent sur chaque extrémité, l’une verticalement vers le haut en 𝐴 et l’autre verticalement vers le bas en 𝐵. La barre est tirée par une corde, attachée au point 𝐶, inclinée selon un angle de 60° par rapport à 𝐴𝐵. La tension dans la corde a une intensité de 192 N. La barre est maintenue en équilibre horizontal par une quatrième force 𝐹 agissant sur la barre au point 𝐷 selon un angle de 60 ° par rapport à 𝐵𝐴. En supposant qu’il n’y ait pas de réaction à l’épingle, déterminez l’intensité de 𝐹 et la longueur de 𝐷𝐶.

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Transcription de la vidéo

𝐴𝐵 est une barre d’un poids négligeable et d’une longueur de 54 centimètres. Elle est suspendue horizontalement par une épingle en son milieu. Des forces d’intensité 68 racine carrée de trois newtons agissent sur chaque extrémité, l’une verticalement vers le haut en 𝐴 et l’autre verticalement vers le bas en 𝐵. La barre est tirée par une corde, attachée au point 𝐶, inclinée selon un angle de 60 degrés par rapport à 𝐴𝐵. La tension dans la corde a une intensité de 192 newtons. La barre est maintenue en équilibre horizontal par une quatrième force 𝐹 agissant sur la barre au point 𝐷 selon un angle de 60 degrés par rapport à 𝐵𝐴. En supposant qu’il n’y ait pas de réaction à l’épingle, déterminez l’intensité de 𝐹 et la longueur de 𝐷𝐶.

Il y a beaucoup d’informations dans cette question. Nous allons donc commencer par faire un schéma du corps libre. On nous a dit que la barre 𝐴𝐵 mesure 54 centimètres de long et a un poids négligeable. Elle est suspendue horizontalement par une épingle en son milieu 𝑀. Il y a des forces verticales en 𝐴 et 𝐵 d’intensité 68 racine trois newtons. La force en 𝐴 agit vers le haut et la force en 𝐵 agit vers le bas. La barre est tirée par une corde attachée au point 𝐶. La tension dans la corde est de 192 newtons. Et la corde est inclinée selon un angle de 60 degrés par rapport à 𝐴𝐵. Enfin, il existe une quatrième force 𝐹 agissant sur la barre au point 𝐷 avec un angle de 60 degrés par rapport à 𝐵𝐴.

Les forces en 𝐴 et 𝐵 sont un exemple de couple coplanaire car elles sont de même intensité mais de sens opposé. Cela signifie qu’en résolvant suivant la verticale, les forces s’annulent. Deux autres forces agissent sur la barre aux points 𝐶 et 𝐷. Celles-ci font le même angle avec la barre et sont donc parallèles. Et on nous a dit aussi que le système est en équilibre. Cela signifie que ces forces doivent également former un couple coplanaire. Cela signifie qu’elles ont la même intensité et que 𝐹 est égal à 192 newtons. Nous pouvons vérifier, on dégage de l’espace et on résout suivant la direction verticale et puis horizontale. Lorsqu’un système est en équilibre, nous savons que la somme des forces dans la direction horizontale est égale à zéro et que la somme des forces dans la direction verticale est égale à zéro.

Avant de se résoudre verticalement et horizontalement, nous devons donc utiliser nos connaissances en trigonométrie dans un triangle rectangle pour trouver les composantes horizontale et verticale de la force de 192 newtons et de la force 𝐹. Le sinus de l’angle 𝜃 est égal au côté opposé sur l’hypoténuse, et le cosinus de l’angle 𝜃 est égal à au côté adjacent sur l’hypoténuse. Si nous considérons la force 𝐹, nous avons un triangle rectangle comme indiqué. La composante horizontale de cette force est adjacente à l’angle de 60 degrés. Et la composante verticale est opposée à l’angle de 60 degrés. Cela signifie que le sinus de 60 degrés est égal à 𝑦 sur 𝐹, et le cosinus de 60 degrés est égal à 𝑥 sur 𝐹.

Nous savons que le sinus de 60 degrés est la racine carrée de trois sur deux et le cosinus de 60 degrés est un demi. Nous pouvons multiplier les deux membres de nos deux équations par 𝐹, ce qui nous donne 𝑦 est égal à la racine carrée de trois sur deux 𝐹 et 𝑥 est égal à un demi 𝐹. Ce sont, respectivement, les composantes verticale et horizontale de la force 𝐹. Nous pouvons répéter ce processus pour la force de 192 newtons. Cette force a une composante horizontale égale à 192 multipliée par le cosinus de 60 degrés, ce qui est égal à 96 newtons agissant vers la gauche. La composante verticale est égale à 192 multipliée par le sinus de 60 degrés, ce qui est égal à 96 racine carrée de trois newtons agissant verticalement vers le haut.

Nous pouvons maintenant résoudre suivant l’horizontale et la verticale. Si nous posons que le sens positif est vers la droite, la somme des forces horizontales est donc égale à un demi de 𝐹 moins 96. Et nous savons que c’est égal à zéro. En ajoutant 96 aux deux membres, puis en multipliant par deux, nous obtenons 𝐹 égal 192. Cela confirme notre réponse pour 𝐹 de 192 newtons. Nous aurions également pu la trouver verticalement. Et en prenant le sens positif pour être verticalement vers le haut, nous avons l’équation suivante. 68 racine trois moins racine trois sur deux 𝐹 plus 96 racine trois moins 68 racine trois est égal à zéro. Les 68 racines trois se simplifient. Nous pouvons alors diviser par la racine carrée de trois. Cela nous donne moins 𝐹 sur deux plus 96 est égal à zéro. Ajouter 𝐹 sur deux aux deux membres, puis multiplier par deux une fois de plus, nous donne une réponse de 192 newtons.

La deuxième partie de notre question nous demande de calculer la longueur du segment 𝐷𝐶. Pour faire cela, nous allons regarder les moments par rapport à un point de la barre. Comme la barre est en équilibre, nous savons que la somme des moments est égale à zéro. Et nous considérons le sens inverse des aiguilles d’une montre comme sens positif. Nous avons affaire à des couples coplanaires, les forces de même intensité doivent donc être équidistantes par rapport au centre de la barre. Si nous posons la longueur de 𝐷𝑀 et 𝑀𝐶 égale à 𝑥 centimètres, alors la longueur 𝐷𝐶 que nous essayons de calculer est égale à deux 𝑥 centimètres.

Nous savons que le moment de toute force est égal à l’intensité de la force multipliée par la distance perpendiculaire au point pour lequel nous prenons des moments. Alors que nous pouvons prendre des moments par rapport à n’importe quel point de la barre, dans ce cas, nous prendrons des moments par rapport au point 𝑀. Les forces d’intensité 96 racine trois newtons agissent dans le sens inverse des aiguilles d’une montre par rapport à ce point. Cela signifie qu’elles auront un moment positif. Dans les deux cas, nous avons 96 racine trois multipliée par 𝑥. C’est la même chose que deux multiplié par 96 racine trois 𝑥, ce qui se simplifie en 192 racine trois 𝑥.

Les deux autres forces agissent dans le sens des aiguilles d’une montre par rapport au point 𝑀. Cela signifie qu’elles auront un moment négatif. Ces deux forces agissent à une distance perpendiculaire de 27 centimètres de 𝑀. Cela signifie qu’elles ont un moment de moins 68 racine trois multiplié par 27. Comme la somme des moments est égale à zéro, nous avons 192 racine trois 𝑥 moins 3 672 racine trois égale zéro. Nous pouvons diviser par racine trois, puis ajouter 3 672 aux deux membres de notre équation. La division par 192 nous donne 𝑥 est égal à 19,125. Nous pouvons maintenant remplacer par nos valeurs pour calculer la longueur de 𝐷𝐶. 𝐷𝐶 est égal à 38,25 centimètres.

En utilisant notre connaissance des couples coplanaires, en résolvant et en prenant les moments, nous avons constaté que l’intensité de la force 𝐹 est de 192 newtons et que la longueur du segment 𝐷𝐶 est de 38,25 centimètres.

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