Transcription de la vidéo
Utilisez la formule de Moivre pour exprimer tangente cinq thêta en fonction des puissances de tangente thêta.
Nous commencerons par rappeler la formule de Moivre. Elle dit tout simplement que 𝑒 à la puissance 𝑖 thêta est égal à cosinus thêta plus 𝑖 sinus thêta. Maintenant, bien sûr, nous allons finalement travailler avec tangente de cinq thêta. Nous allons donc utiliser l’identité trigonométrique tangente thêta égale sinus thêta sur cosinus thêta. Mais ce sera un peu plus tard dans notre vidéo. Maintenant, en fait, nous travaillons avec tangente cinq thêta . Et nous savons que tangente cinq thêta est égale à sinus cinq thêta sur coinus cinq thêta. Nous allons donc devoir trouver un moyen d’exprimer la formule de Moivre en fonction de cinq thêta. Eh bien, nous allons commencer par écrire les deux côtés de la formule de Moivre comme une puissance de cinq.
Lorsque nous le faisons dans le membre de gauche, nous obtenons 𝑒 à la puissance cinq 𝑖 thêta. Et à droite, nous avons cosinus thêta plus 𝑖 sinus thêta à la puissance cinq. La formule de Moivre dit cependant que nous pouvons exprimer 𝑒 à la puissance cinq 𝑖 thêta comme cosinus cinq thêta plus 𝑖 sinus thêta. Mais dans le membre de droite, nous allons devoir utiliser la formule du binôme de Newton pour distribuer nos parenthèses. Cela signifie que 𝑎 plus 𝑏 à la puissance 𝑛 est égal à la somme de 𝑘 égale zéro à 𝑛 de 𝑘 parmi 𝑛 fois 𝑎 à la puissance 𝑛 moins 𝑘 fois 𝑏 à la puissance 𝑘. Lorsque 𝑛 est égal à cinq, 𝑎 plus 𝑏 à la puissance cinq est 𝑎 à la puissance cinq plus un parmi cinq fois 𝑎 à la puissance quatre 𝑏 plus deux parmi cinq 𝑎 au cube 𝑏 au carré et ainsi de suite.
Nous remplaçons 𝑎 par cosinus thêta et 𝑏 par 𝑖 sinus thêta. Et nous trouvons que le premier terme de notre développement du binôme est cosinus thêta à la puissance cinq. Un parmi cinq, c’est simplement cinq. Donc, notre deuxième terme devient cinq cosinus thêta à la puissance quatre fois 𝑖 sinus thêta. En fait, la convention veut que nous déplacions le 𝑖 devant ce terme. Notre troisième terme est deux parmi cinq soit 10, donc 10 cosinus cube thêta fois 𝑖 sinus thêta au carré. Nous distribuons les deux sur nos parenthèses, et cela devient 𝑖 au carré sinus carré thêta. Mais bien sûr, nous savons que 𝑖 au carré est égal à moins un. Donc, notre troisième terme est en fait moins 10 cosinus cube thêta sinus carré thêta. Trois parmi cinq est aussi 10. Donc, notre quatrième terme est 10 cosinus carré thêta fois 𝑖 sinus thêta au cube.
Nous écrivons 𝑖 sinus thêta au cube comme 𝑖 au cube sinus au cube thêta. Et puis si nous considérons 𝑖 au cube comme étant égal à 𝑖 au carré fois 𝑖, nous voyons que c’est aussi égal à moins 𝑖. Donc à la place, nous écrivons notre quatrième terme comme indiqué. Nous avons alors cinq cosinus thêta fois 𝑖 sinus thêta à la puissance quatre. Puis cette fois, lorsque nous distribuons nos parenthèses, nous obtenons 𝑖 à la puissance quatre fois sinus thêta à la puissance quatre. Or 𝑖 à la puissance quatre est 𝑖 au carré fois 𝑖 au carré, ce qui vaut moins un fois moins un qui est simplement un. Et ainsi notre cinquième terme devient cinq cosinus thêta sinus thêta à la puissance quatre. Et notre dernier terme devient 𝑖 sinus thêta à la puissance cinq.
Nous écrivons ceci comme 𝑖 à la puissance cinq fois sinus thêta à la puissance cinq. Ensuite 𝑖 à la puissance cinq est égal à 𝑖 à la puissance quatre fois 𝑖. Eh bien, c’est un fois 𝑖, ce qui est simplement 𝑖. Ainsi notre sixième et dernier terme est 𝑖 sinus thêta à la puissance cinq. Nous pouvons améliorer cela un peu en rassemblant les parties réelles et imaginaires. Et nous voyons que notre équation devient cosinus de cinq thêta plus 𝑖 sinus de cinq thêta égale cosinus thêta à la puissance cinq moins 10 cosinus cube thêta sinus carré thêta plus cinq cosinus thêta sinus thêta à la puissance quatre plus 𝑖 fois cinq cosinus thêta à la puissance quatre sinus thêta moins 10 cosinus carré thêta sinus cube thêta plus sinus thêta à la puissance cinq. Et nous sommes maintenant prêts à mettre en équation les parties réelles et imaginaires.
Dans le membre de gauche, la partie réelle de l’expression est cosinus cinq thêta. Et dans le membre de droite, c’est cosinus thêta à la puissance cinq moins 10 cosinus cube thêta sinus carré thêta plus cinq cosinus thêta sinus thêta à la puissance quatre. Et maintenant, nous avons une équation pour cosinus cinq thêta. Ensuite, nous mettons en équation les parties imaginaires. Rappelez-vous, ce sont le coefficient de 𝑖. Donc, dans le membre de gauche, c’est sinus cinq thêta. Et à droite, c’est cinq cosinus thêta à la puissance quatre sinus thêta moins 10 cosinus carré thêta sinus cube thêta plus sinus thêta à la puissance cinq. Et donc nous avons une équation pour sin cinq thêta.
Nous allons libérer de l’espace pour la prochaine étape. À ce stade, nous y sommes presque. Nous devons maintenant revenir à notre identité antérieure. C’est-à-dire que tangente cinq thêta est égal à sinus cinq thêta sur cosinus cinq thêta. Nous allons diviser l’expression entière pour sinus cinq thêta par l’expression entière pour cosinus cinq thêta. Et quand nous le faisons, nous obtenons une expression pour tangente cinq thêta mais en fonction de cosinus thêta et sinus thêta. Maintenant, bien sûr, dans cette question, nous le voulons en fonction de tangente thêta seulement. Donc, ce que nous allons faire, c’est diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par cosins thêta à la puissance cinq. Et il vous sera évident pourquoi nous allons le faire dans un instant.
Le premier terme de notre numérateur cinq cosinus thêta à la puissance quatre sinus thêta devient cinq cosinus thêta à la puissance quatre sinus thêta divisé par cosinus thêta à la puissance cinq. Nous pouvons alors diviser le numérateur et le dénominateur de cette expression individuelle par cosinus thêta à la puissance quatre. Et il nous restera cinq sinus thêta au numérateur et cosinus thêta au dénominateur. Maintenant, bien sûr, sinus thêta sur cosinus thêta est tangente thêta. Nous nous retrouvons donc avec cinq tangente thêta comme premier terme sur notre numérateur. Nous répétons cela avec le deuxième terme de notre numérateur. Nous obtenons 10 cosinus carré thêta sinus cube thêta sur cosinus thêta à la puissance cinq.
Nous divisons ensuite par le numérateur et le dénominateur de ce seul terme par cosinus carré thêta. Nous nous retrouvons avec 10 sinus cube thêta sur cosinu cube thêta. Mais bien sûr, sinus cube thêta sur cosinus cube thêta sera tangente cube thêta. Le deuxième terme du numérateur est donc moins 10 tangente cube thêta. Notre troisième terme dans notre numérateur devient sinus thêta à la puissance cinq sur cosinus thêta à la puissance cinq, qui est tangente thêta à la puissance cinq. Nous allons répéter cela pour le dénominateur. Cosinus thêta à la puissance cinq divisé par cosinus thêta à la puissance cinq, c’est ce premier terme ici, est un. Notre deuxième terme est moins 10 cosinus cube thêta sinus carré thêta sur cosinus thêta à la puissance cinq.
Cette fois, nous divisons le numérateur et le dénominateur par cosinus au cube. Il nous reste donc moins 10 sinus carré thêta sur cosinus carré thêta, ce qui est moins 10 tangente carré thêta. Notre troisième terme sur le dénominateur est cinq cosinus thêta sinus thêta à la puissance quatre le tout sur cosinus thêta à la puissance cinq. Cette fois, nous divisons simplement par cosinus thêta. Et nous pouvons écrire sinus thêta à la puissance quatre sur cosinus thêta à la puissance quatre comme tangente thêta à la puissance quatre. Donc nous avons cinq tangente thêta moins 10 tangente cube thêta plus tangente thêta à la puissance cinq sur un moins 10 tangente carré thêta plus cinq tangente thêta à la puissance quatre.