Transcription de la vidéo
Un vacancier séjourne dans un camping. La position de sa tente et des points d’intérêt aux alentours sont indiquées sur la figure ci-dessous. Deux chemins partent du camping. L’un des deux va vers l’est et mène à des magasins. Un panneau dans le camping indique que les magasins sont situés à une distance de 100 m et que l’autre chemin fait 130 m de long et mène à des ruines. Le vacancier se rend aux magasins et il voit un panneau indiquant qu’un garage est situé à 230 m au nord. Le garage se trouve à 320 mètres à l’ouest de la ville la plus proche du camping. Quelle est la norme du vecteur déplacement entre les ruines et la ville, arrondie au mètre ?
Alors, on nous demande de calculer la norme du vecteur déplacement qui va des ruines, qui est ce point ici sur la figure, à la ville, qui est ce point ici. Ce vecteur déplacement peut être représenté par une flèche dont l’origine est au niveau des ruines et l’extrémité au niveau de la ville. La norme du vecteur correspond à la longueur de la flèche. Nous pouvons identifier un triangle rectangle sur la figure, que nous avons représenté en bleu. Nous savons que cet angle mesure 90 degrés car on nous dit que ce chemin est dirigé vers le nord. Et on nous dit que la ville est située à l’est du garage, donc cette route doit aller vers l’est.
L’hypoténuse de ce triangle rectangle est le vecteur déplacement entre les ruines et la ville. Et pour les deux autres côtés, l’un d’eux est la longueur du chemin vers le nord entre les ruines et le garage et l’autre est la route principale qui va vers l’ouest de la ville vers le garage. Nous savons que la route entre le garage et la ville fait 320 mètres de long. Mais nous ne connaissons pas la longueur du chemin vers le nord entre les ruines et le garage.
Ce que nous savons, c’est que le garage est situé au nord des magasins, à une distance de 230 mètres. La distance entre les ruines et le garage, qui se trouve de ce côté de notre triangle, plus la distance entre les magasins et les ruines doit donc être de 230 mètres. Donc, si nous appelons 𝑥 un la distance entre les magasins et les ruines et 𝑥 deux la distance entre les ruines et le garage, alors 230 mètres est égal à 𝑥 un plus 𝑥 deux.
Nous pouvons également identifier un deuxième triangle rectangle sur la figure. Comme nous savons que ce chemin est dirigé vers le nord et que celui-là est dirigé vers l’est, alors cet angle doit mesurer 90 degrés. La raison pour laquelle nous cherchons à identifier des triangles rectangles sur la figure est que nous pourrons ainsi utiliser le théorème de Pythagore pour résoudre ce problème. La norme du vecteur déplacement que nous cherchons à déterminer est l’hypoténuse d’un triangle rectangle sur la figure. Et le théorème de Pythagore relie la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle aux longueurs des deux autres côtés.
Plus précisément, pour un triangle rectangle quelconque avec une hypoténuse de longueur 𝑐 et deux autres côtés de longueurs 𝑎 et 𝑏, le théorème de Pythagore dit que 𝑐 au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Si nous prenons la racine carrée des deux côtés de cette équation, nous obtenons que la longueur de l’hypoténuse 𝑐 est égale à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Si nous regardons ce triangle ici sur la figure, nous savons que l’hypoténuse est la norme du vecteur déplacement que nous cherchons à déterminer. Et nous pouvons voir que l’un des côtés du triangle a une longueur de 320 mètres et que le côté restant a une longueur inconnue 𝑥 deux.
Donc, si nous pouvons déterminer la valeur de cette longueur inconnue 𝑥 deux, alors il sera possible d’utiliser cette valeur et la valeur de 320 mètres pour 𝑎 et 𝑏 dans l’équation du théorème de Pythagore. Pour calculer la valeur de 𝑥 deux, nous allons utiliser cette équation ici. Si nous soustrayons 𝑥 un des deux côtés de l’équation, alors 𝑥 un et moins 𝑥 un s’annulent sur la droite. Et donc nous obtenons que 𝑥 deux est égal à 230 mètres moins 𝑥 un. Cela signifie que si nous pouvons déterminer la valeur de 𝑥 un, alors il suffira de soustraire cette valeur à 230 mètres pour obtenir la valeur de 𝑥 deux.
Alors, pour déterminer 𝑥 un, remarquons qu’il s’agit de l’un des côtés de l’autre triangle rectangle. Et dans ce triangle, nous savons que la longueur de l’hypoténuse est de 130 mètres et la longueur de l’autre côté est de 100 mètres. Si nous comparons ce triangle avec le triangle quelconque du théorème de Pythagore, nous pouvons identifier cette hypoténuse de 130 mètres comme le côté 𝑐, cette longueur horizontale de 100 mètres comme le côté 𝑎 et la longueur 𝑥 un comme le côté appelé 𝑏. Donc, dans cette équation du théorème de Pythagore, nous connaissons les valeurs de 𝑐 et de 𝑎. Et nous voulons trouver la valeur de 𝑏. Nous pouvons utiliser cette expression pour exprimer 𝑏 en fonction des autres valeurs.
Pour cela, il faut d’abord soustraire 𝑎 au carré des deux côtés de l’équation. Sur le côté droit, le 𝑎 au carré et le moins 𝑎 au carré s’annulent et il nous reste 𝑏 au carré égal à 𝑐 au carré moins 𝑎 au carré. En prenant la racine carrée des deux côtés de l’équation, à gauche, la racine carrée de 𝑏 au carré est simplement 𝑏. Et donc nous avons que 𝑏 est égal à la racine carrée de 𝑐 au carré moins 𝑎 au carré. Faisons maintenant un peu de place pour remplacer 𝑐 par 130 mètres et 𝑎 par 100 mètres dans cette équation.
Alors, nous avons déplacé l’équation reliant 𝑥 deux et 𝑥 un ici à gauche et nous pouvons maintenant remplacer les valeurs dans cette équation. À la place de 𝑏, nous avons la longueur du côté 𝑥 un, qui vaut racine carrée de 130 mètres au carré moins 100 mètres au carré. Donc, sous la racine carrée, c’est le carré de l’hypoténuse, 𝑐, moins le carré de l’autre côté, 𝑎. 130 mètres au carré moins 100 mètres au carré font 6 900 mètres carrés. Et le calcul de la racine carrée nous donne que 𝑥 un est égal à 83,066 mètres. Les points de suspension sont utilisés ici pour indiquer qu’il y a davantage de décimales.
Maintenant que nous avons la valeur de 𝑥 un, nous pouvons utiliser cette équation ici pour calculer 𝑥 deux. En prenant la valeur de 𝑥 un et en la remplaçant dans cette équation, nous obtenons que 𝑥 deux est égal à 230 mètres moins 83,066 mètres, ce qui vaut 146,934 mètres. Regardons maintenant ce triangle sur la figure, nous connaissons les longueurs des deux côtés qui ne sont pas l’hypoténuse. Donc, si nous remplaçons ces deux valeurs à la place de 𝑎 et 𝑏 dans l’équation du théorème de Pythagore, alors la valeur de 𝑐 calculée sera la longueur de cet hypoténuse. Nous avons déjà vu que la longueur de cette hypoténuse est égale à la norme du vecteur déplacement entre les ruines et la ville, ce qui est exactement ce que nous cherchons à calculer.
Alors faisons un peu plus de place et remplaçons les valeurs dans cette équation du théorème de Pythagore. L’équation dit que 𝑐 est égal à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Et dans ce cas, 𝑐 est la longueur de cette hypoténuse ici. Et à la place des quantités 𝑎 et 𝑏, nous avons 320 mètres et 146,934 mètres. 320 mètres au carré plus 146.934 mètres font 123 989,53 mètres carrés. Le calcul de la racine carrée nous donne un résultat pour 𝑐 de 352,12 mètres. Comme on nous demande de donner une réponse arrondie au mètre, il faut arrondir ce résultat. En faisant cela, nous obtenons que la norme du vecteur déplacement entre les ruines et la ville est de 352 mètres.