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Vidéo question :: Calcul d’une expression impliquant un produit scalaire Mathématiques • Troisième année secondaire

Etant donnés 𝐀 = 3𝐢 + 2𝐣 − 3𝐤, 𝐁 = 2𝐢 − 2𝐣 − 𝐤 et 𝐂 = 2𝐢 − 𝐣 − 3𝐤, déterminez 2𝐂 − [2𝐀 ⋅ (2𝐁 + 4𝐂)]𝐁.

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Transcription de la vidéo

Etant donnés le vecteur 𝐀 égale trois 𝐢 plus deux 𝐣 moins trois 𝐤, le vecteur 𝐁 égale deux 𝐢 moins deux 𝐣 moins 𝐤 et le vecteur 𝐂 égale deux 𝐢 moins 𝐣 moins trois 𝐤, déterminez deux 𝐂 moins le produit scalaire de deux 𝐀 par deux 𝐁 plus quatre 𝐂 fois le vecteur 𝐁.

L’expression que nous cherchons à calculer ici est assez compliquée. Commençons par calculer l’expression entre parenthèses, deux 𝐁 plus quatre 𝐂. Pour multiplier un vecteur par un scalaire ou une constante, nous multiplions simplement chaque composante par ce scalaire. Nous avons donc deux 𝐁 égale deux multiplié par deux 𝐢 moins deux 𝐣 moins 𝐤. Cela se simplifie en quatre 𝐢 moins quatre 𝐣 moins deux 𝐤.

Nous calculons quatre 𝐂 de la même manière. Cela donne huit 𝐢 moins quatre 𝐣 moins 12𝐤. L’étape suivante consiste à additionner ces deux vecteurs. Pour additionner deux vecteurs, nous additionnons simplement les composantes correspondantes. Quatre 𝐢 plus huit 𝐢 égale 12𝐢, moins quatre 𝐣 plus moins quatre 𝐣 égale moins huit 𝐣 et moins deux 𝐤 plus moins 12𝐤 égale moins 14𝐤. Deux 𝐁 plus quatre 𝐂 est égal à 12𝐢 moins huit 𝐣 moins 14𝐤.

L’étape suivante consiste à calculer le produit scalaire de deux 𝐀 par deux 𝐁 plus quatre 𝐂. La multiplication par deux du vecteur 𝐀 donne six 𝐢 plus quatre 𝐣 moins six 𝐤. Nous calculons le produit scalaire de deux vecteurs en multipliant leurs composantes correspondantes, puis en prenant la somme de ces valeurs. Nous commençons par multiplier 12 par six. Ensuite, nous multiplions moins huit par quatre. Enfin, nous multiplions moins 14 par moins six. Le produit scalaire est égal à 12 multiplié par six plus moins huit multiplié par quatre plus moins 14 multiplié par moins six. Cela se simplifie en 72 plus moins 32 plus 84, ce qui est égal à 124.

L’expression à l’intérieur des crochets, qui est le produit scalaire de deux 𝐀 par deux 𝐁 plus quatre 𝐂 est égale au scalaire ou à la constante 124. En multipliant ceci par le vecteur 𝐁, nous obtenons124𝐁 égale 248𝐢 moins 248𝐣 moins 124𝐤. Nous pouvons à présent trouver la réponse finale en retranchant cela de deux 𝐂. Deux 𝐂 est égal à quatre 𝐢 moins deux 𝐣 moins six 𝐤. En soustrayant les composantes 𝐢, nous trouvons moins 244𝐢. En soustrayant les composantes 𝐣, nous trouvons plus 246𝐣. Enfin, en soustrayant les composantes 𝐤, nous trouvons 118𝐤.

Si le vecteur 𝐀 est égal à trois 𝐢 plus deux 𝐣 moins trois 𝐤, si le vecteur 𝐁 est égal à deux 𝐢 moins deux 𝐣 moins 𝐤 et si le vecteur 𝐂 est égal à deux 𝐢 moins 𝐣 moins trois 𝐤, alors deux 𝐂 moins le produit scalaire de deux 𝐀 par deux 𝐁 plus quatre 𝐂, multiplié par le vecteur 𝐁 est égal à moins 244𝐢 plus 246𝐣 plus 118𝐤.

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