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Vidéo question :: Utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle pour trouver une longueur inconnue dans un problème impliquant un angle d’élévation Mathématiques • Première année secondaire

Le schéma ci-dessous représente une échelle d’une longueur de 15 pieds, posée contre un mur avec un angle d’élévation de 70 °. Quelle hauteur atteint-elle sur le mur ? Arrondissez votre réponse au cenitème près.

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Transcription de la vidéo

Le schéma ci-dessous représente une échelle d’une longueur de 15 pieds, posée contre un mur avec un angle d’élévation de 70degrés. Quelle hauteur atteint-elle sur le mur ? Arrondissez votre réponse au cenitème près.

Sur le schéma qui nous a été donné, nous pouvons voir que l’échelle, le mur et le sol forment un triangle rectangle. Commençons par ajouter les informations que nous avons sur le schéma. On nous dit tout d’abord que l’échelle mesure 15 pieds de long. Il s’agit de la longueur du segment de droite joignant les points 𝐴 et 𝐵. Ensuite, on nous dit que l’angle d’élévation est de 70 degrés. L’angle d’élévation est l’angle formé entre l’horizontale et la ligne de vue lorsque nous regardons un objet. Ainsi, si nous nous tenons en bas de l’échelle et que nous regardons vers le haut, l’angle entre l’horizontale et la ligne de vue est cet angle ici. Nous pouvons donc ajouter la valeur de 70 degrés sur le schéma.

On nous demande à quelle hauteur l’échelle touche le mur. Nous devons donc calculer la longueur du segment de droite 𝐵𝐶, que nous pouvons définir comme 𝑥 pieds. Puisque nous avons un triangle rectangle dans lequel nous connaissons la longueur d’un côté et la mesure d’un angle et que nous voulons calculer la longueur d’un autre côté, nous pouvons utiliser la trigonométrie du triangle rectangle. Nous pouvons identifier les côtés de ce triangle par rapport à l’angle de 70 degrés. Le côté dont nous voulons calculer la longueur, 𝐵𝐶, est le côté opposé. Le côté dont nous connaissons la longueur, 𝐴𝐵, est l’hypoténuse.

Rappelons-nous de l’acronyme SOH CAH TOA, nous voyons alors qu’il nous faut utiliser le sinus. Le rapport du sinus est défini comme suit. Pour un angle 𝜃 dans un triangle rectangle, le sinus de l’angle 𝜃 est égal à la longueur du côté opposé divisée par la longueur de l’hypoténuse. Nous connaissons la valeur de 𝜃 dans ce triangle ; elle est de 70 degrés. Nous connaissons aussi la longueur de l’hypoténuse ; elle fait 15 pieds. Nous pouvons donc remplacer ces valeurs pour former une équation. Nous pouvons également utiliser 𝑥 pour représenter la longueur du côté opposé. Nous avons l’équation sinus de 70 degrés égale 𝑥 sur 15.

Nous pouvons maintenant résoudre cette équation pour déterminer 𝑥. Nous le faisons en multipliant les deux côtés de l’équation par 15, ce qui donne 𝑥 est égal à 15 sinus de 70 degrés. Tout ce qui reste à faire est d’évaluer cela sur une calculatrice, en s’assurant qu’elle est en mode degré. Cela donne 14,0953 etc. La question précise que nous devons donner une réponse au centième près. Ainsi, puisque le chiffre à la troisième décimale est cinq, nous arrondissons à 14,10. Il s’agit d’une réponse logique vu que le côté de 𝑥 pieds est l’un des côtés les plus courts du triangle rectangle. Notre valeur devrait donc être inférieure à la longueur de l’hypoténuse, soit 15 pieds.

En rappelant qu’un angle d’élévation est l’angle mesuré de l’horizontale à la ligne de vue lorsque nous regardons vers un objet, puis en appliquant la trigonométrie du triangle rectangle, nous avons constaté que cette échelle touche le mur à 14,10 pieds de haut. Cette valeur est arrondie au centième près.

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