Vidéo question :: Déterminer l’équation d’une droite de régression d’un modèle de régression linéaire | Nagwa Vidéo question :: Déterminer l’équation d’une droite de régression d’un modèle de régression linéaire | Nagwa

Vidéo question :: Déterminer l’équation d’une droite de régression d’un modèle de régression linéaire Mathématiques • Troisième année secondaire

Le tableau montre la relation entre les variables 𝑥 et 𝑦. Déterminez l’équation de la droite de régression sous la forme 𝑦 chapeau = 𝑎 + 𝑏𝑥. Arrondissez 𝑎 et 𝑏 au millième près.

11:13

Transcription de la vidéo

Le tableau montre la relation entre les variables 𝑥 et 𝑦. Déterminez l’équation de la droite de régression sous la forme 𝑦 chapeau égale 𝑎 plus 𝑏𝑥. Arrondissez 𝑎 et 𝑏 au millième près.

Dans cette question, on nous donne un tableau de points de données qui montrent une relation entre deux variables, la variable 𝑥 et la variable 𝑦. Nous devons utiliser ce tableau pour trouver l’équation de la droite de régression reliant 𝑥 et 𝑦. C’est la droite d’ajustement. On nous demande de donner notre réponse sous la forme 𝑦 chapeau égale 𝑎 plus 𝑏𝑥. On nous dit également qu’il suffit d’arrondir la valeur de 𝑎 et 𝑏 au millième près.

Pour répondre à cette question, commençons par rappeler comment on trouve la droite de régression des moindres carrés reliant deux variables 𝑥 et 𝑦. Nous rappelons que pour trouver la droite de régression des moindres carrés entre deux variables 𝑥 et 𝑦, nous pouvons utiliser la formule suivante. On a 𝑏 égale 𝑠 indice 𝑥𝑦 divisé par 𝑠 indice 𝑥𝑥, où 𝑠 indice 𝑥𝑦 est une mesure de la covariance de 𝑥 et 𝑦 et 𝑠 indice 𝑥𝑥 est une mesure de la variance de 𝑥. Et notre valeur de 𝑎 va être égale à 𝑦 barre moins 𝑏 fois 𝑥 barre, où 𝑥 barre est la valeur moyenne de 𝑥 et 𝑦 barre est la valeur moyenne de 𝑦. Bien sûr, cela seul n’est pas suffisant pour trouver les valeurs de 𝑎 et 𝑏. Nous avons également besoin de la formule pour 𝑠 indice 𝑥𝑦, 𝑠 indice 𝑥𝑥, et 𝑦 barre et 𝑥 barre.

Premièrement, nous rappelons que 𝑠 indice 𝑥𝑥 est égal à la somme de 𝑥 au carré moins la somme des 𝑥 le tout au carré sur 𝑛 et 𝑠 indice 𝑥𝑦 est la somme de 𝑥 fois 𝑦 moins la somme de 𝑥 fois la somme de 𝑦 sur 𝑛. De même, nous savons trouver la valeur moyenne de 𝑥 et 𝑦. La valeur moyenne de 𝑥 sera le total de tous nos points de données de 𝑥 divisé par le nombre de points de données. C’est la somme de 𝑥 sur 𝑛. De même, la valeur moyenne de 𝑦 sera la somme de 𝑦 sur 𝑛.

Nous sommes maintenant prêts à commencer à trouver l’équation de notre droite de régression. Cependant, il y a beaucoup de choses que nous devons prendre en compte. Tout d’abord, bien que cela semble très compliqué, il n’y a que cinq choses à trouver. Nous devons trouver la valeur de 𝑛, la somme de 𝑥, la somme de 𝑦, la somme de 𝑥 fois 𝑦 et la somme de 𝑥 au carré. Une fois que nous avons trouvé ces cinq valeurs, il suffit de les remplacer dans nos formules pour trouver les valeurs de 𝑎 et 𝑏.

Nous les trouvons une par une. Commençons par la valeur de 𝑛. On sait que 𝑛 est le nombre de points de données. Nous pouvons le voir directement à partir de notre tableau. Nous pouvons voir qu’il n’y a que six points de données dans cet exemple. Donc, notre valeur de 𝑛 est égale à six. Nous pouvons également trouver la somme des 𝑥 et la somme des 𝑦 dans notre tableau. Commençons par la somme des 𝑥. Nous avons juste besoin d’additionner toutes les valeurs 𝑥 dans notre tableau. Donc, dans ce cas, la somme des 𝑥 est 10 plus 22 plus 22 plus 13 plus 16 plus 21. Et nous pouvons calculer cela. Nous voyons que c’est égal à 104.

Et nous pouvons alors faire exactement la même chose pour trouver la somme des 𝑦. Nous voulons simplement additionner toutes les valeurs de 𝑦 dans notre tableau. Donc, dans ce cas, la somme des 𝑦 va être 25 plus 18 plus 24 plus 25 plus 12 plus 17. Puis nous pouvons calculer cela. On obtient la somme des 𝑦 égale à 121. Cela signifie que nous avons jusqu’à présent trouvé les valeurs de 𝑛, la somme des 𝑥 et la somme des 𝑦. Nous avons deux autres choses à calculer. Ensuite, trouvons la valeur de la somme des 𝑥 au carré. Pour trouver la somme des 𝑥 au carré, nous devons mettre au carré toutes nos valeurs de 𝑥 dans le tableau, puis les additionner. Donc, dans notre tableau, nous obtenons que la somme des 𝑥 au carré est égal à 10 au carré plus 22 au carré plus 22 au carré plus 13 au carré plus 16 plus 21 au carré. Et si nous calculons cela, nous obtenons 1934.

Il n’y a qu’une dernière chose à calculer. Nous devons trouver la somme des 𝑥 multipliés par les 𝑦. C’est plus difficile car nous devons trouver la somme de 𝑥 multiplié par 𝑦 pour chacun des points de données de notre tableau. Commençons donc par la première colonne de notre tableau. La valeur 𝑥 est 10, et la valeur 𝑦 est 25. Nous devons les multiplier ensemble pour obtenir 10 fois 25. Nous devons faire de même avec la deuxième colonne de notre tableau. La valeur de 𝑥 est 22 et la valeur de 𝑦 est 18. Nous devons les multiplier ensemble pour obtenir 22 fois 18. Et nous devons ajouter ceci à notre produit précédent.

Nous devons suivre ce processus pour toutes les colonnes de notre tableau, en nous donnant l’expression suivante pour la somme des 𝑥𝑦. Et si nous calculons cette expression, nous voyons que nous obtenons la somme des 𝑥𝑦 égale à 2048. Maintenant que nous avons trouvé la valeur de 𝑛, la somme des 𝑥, la somme des 𝑦, la somme des 𝑥 au carré et la somme de 𝑥 fois 𝑦, nous sommes prêts à trouver les valeurs de 𝑎 et 𝑏. Et il convient de souligner que nous devrions toujours commencer par la valeur de 𝑏 car nous avons besoin de la valeur de 𝑏 pour trouver la valeur de 𝑎. Et bien sûr, pour trouver la valeur de 𝑏, nous devons d’abord trouver 𝑠 indice 𝑥𝑥 et 𝑠 indice 𝑥𝑦.

Commençons par 𝑠 indice 𝑥𝑥. Tout d’abord, nous avons besoin de la somme des 𝑥 au carré. Et nous savons que cela équivaut à 1934. Ensuite, nous devons soustraire la somme des 𝑥 le tout au carré divisé par 𝑛. Rappelez-vous que la somme des 𝑥 est égale à 104. Nous devons ensuite mettre cela au carré, et nous devons diviser cela par la valeur de 𝑛, qui est six. Par conséquent, nous avons montré que 𝑠 indice 𝑥𝑥 est égal à 1934 moins 104 au carré sur six. Et nous pouvons calculer cela. C’est égal à 394 divisé par trois. Et il est important que nous trouvions cette valeur exactement parce que nous ne voulons pas arrondir jusqu’à la fin car cela pourrait rendre notre réponse incorrecte.

On peut alors faire exactement la même chose pour trouver 𝑠 indice 𝑥𝑦. Nous devons substituer dans nos valeurs la somme des 𝑥𝑦, la somme des 𝑥, la somme des 𝑦 et 𝑛. Ce faisant, nous obtenons que 𝑠 indice 𝑥𝑦 est égal à 2048 moins 104 fois 121 sur six. Si nous calculons cette expression exactement, nous obtenons moins 148 divisé par trois. Et maintenant, nous pouvons trouver la valeur de 𝑏. Rappelez-vous, c’est le quotient de ces deux valeurs. On a 𝑏 égale 𝑠 indice 𝑥𝑦 divisé par 𝑠 indice 𝑥𝑥. Donc, dans ce cas, 𝑏 est égal à moins 148 sur trois divisé par 394 sur trois. Et nous pourrions déterminer cela en utilisant notre calculatrice. Ou nous pourrions nous rappeler que pour diviser deux fractions, nous pouvons également multiplier par l’inverse de notre deuxième fraction.

Quoi qu’il en soit, notre valeur de 𝑏 obtenue est égale à moins 74 divisé par 197. Et rappelez-vous, il est important de trouver cette valeur exactement. Nous arrondirons nos valeurs à la fin. Nous sommes maintenant prêts à trouver la valeur de 𝑎, mais commençons par libérer de l’espace. Pour trouver la valeur de 𝑎, nous devons d’abord trouver la valeur moyenne de 𝑥 et la valeur moyenne de 𝑦. Commençons par la valeur moyenne de 𝑥. C’est la valeur totale de 𝑥 divisée par le nombre de points de données, dans ce cas, 104 sur six. Et dans ce cas, nous pouvons annuler le facteur partagé de deux au numérateur et au dénominateur pour obtenir 𝑥 barre égale 52 sur trois.

Nous pouvons faire la même chose pour trouver la valeur moyenne de 𝑦. C’est la valeur totale de 𝑦 divisée par le nombre de points de données, dans ce cas, 121 sur six. Et cette fraction ne se simplifie pas davantage. Nous sommes maintenant prêts à trouver la valeur de 𝑎. Rappelez-vous que 𝑎 est égal à la valeur moyenne de 𝑦 moins 𝑏 multipliée par la valeur moyenne de 𝑥. Donc, dans notre cas, 𝑎 va être égal à 121 sur six moins moins 74 sur 197 multiplié par 52 sur trois. Et nous pouvons simplifier cette expression. Tout d’abord, soustraire un nombre négatif revient à ajouter simplement un nombre positif. Ensuite, nous pouvons simplifier le deuxième terme de cette expression en multipliant simplement les numérateurs et en multipliant les dénominateurs.

Cela nous donne 121 sur six plus 3848 divisé par 591. Et maintenant, nous pourrions trouver notre valeur de 𝑎 exactement comme une fraction. Cependant, il n’est pas nécessaire de répondre à cette question car il suffit de trouver les valeurs de 𝑎 et 𝑏 au millième près. Nous allons donc écrire cela comme un développement décimal. On a 𝑎 égale 26,6776, et ce développement se poursuit. Nous voulons arrondir cela au millième près. Nous devons donc regarder la quatrième décimale dans notre développement. Elle vaut six, ce qui est supérieur à cinq. Nous devons donc arrondir. Cela nous donne 𝑎 égal à 26,678 au millième près.

Nous pouvons faire exactement la même chose avec notre valeur de 𝑏. Nous écrivons la valeur de 𝑏 comme un développement décimal. Nous obtenons moins 0,3756, et ce développement se poursuit. Nous voulons que ce soit au millième près. Nous devons donc regarder la quatrième décimale. Elle est aussi égal à six. Nous allons donc devoir arrondir. Donc, au millième près, notre valeur de 𝑏 est moins 0,376.

Mais nous n’avons pas encore terminé. Rappelez-vous, la question veut que nous donnions notre réponse dans l’équation d’une droite, 𝑦 chapeau égale 𝑎 plus 𝑏𝑥. En substituant les valeurs de 𝑎 et 𝑏 dans cette équation pour une droite et en écrivant d’abord le terme 𝑥, nous obtenons 𝑦 chapeau égale moins 0,376𝑥 plus 26,678, qui est notre réponse finale. Par conséquent, dans cette question, nous avons pu trouver la droite de régression des moindres carrés entre les variables 𝑥 et 𝑦. Et nous avons trouvé les valeurs de 𝑎 et 𝑏 au millième près. Nous avons obtenu que 𝑦 chapeau sera égal à moins 0,376𝑥 plus 26,678.

Rejoindre Nagwa Classes

Assistez à des séances en direct sur Nagwa Classes pour stimuler votre apprentissage avec l’aide et les conseils d’un enseignant expert !

  • Séances interactives
  • Chat et messagerie électronique
  • Questions d’examen réalistes

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. Apprenez-en plus à propos de notre Politique de confidentialité