Vidéo question :: Utilisation de la méthode de la masse négative pour déterminer le centre de gravité d’une plaque Mathématiques

Transcription de la vidéo

La figure illustre une surface carrée uniforme de côté 18 centimètres. Elle est divisée en neuf carrés superposables. Étant donné que le carré C a été découpé et collé sur le carré A, déterminez les coordonnées du centre de gravité de la surface obtenue.

Commençons par un schéma légèrement modifié de la situation. Nous avons pris le carré C et l’avons collé au-dessus du carré A. Nous pouvons imaginer ce système comme trois plaques carrés distincts. La première plaque est le grand carré d’origine de côté 18 centimètres, qui a une masse 𝑚 un et un centre de gravité en son centre géométrique. Notez que nous supposons un champ gravitationnel uniforme. Ainsi, le centre de gravité sera le même que le centre de masse dans ce cas. La deuxième plaque est le carré C que nous avons collé au-dessus du carré A. Il a une masse 𝑚 deux et son centre de gravité est situé en son centre géométrique. Et la troisième plaque est la plaque carrée manquante, qui était occupée par le carré C. Elle a la même masse que le carré C, que nous venons de coller au-dessus du carré A. Mais nous la traitons comme ayant une masse négative, elle a donc une masse moins 𝑚 deux située en son centre géométrique.

Nous pouvons modéliser ces trois plaques comme trois particules séparées situées en leurs centres de gravité. Et rappelons que le centre de gravité d’un système de particules, le vecteur position 𝐫, est donné par la somme des produits des masses des particules 𝑚 𝑖 et de leurs vecteurs position 𝐫 𝑖 le tout divisé par la masse totale. Le carré d’origine avait un côté de 18 centimètres. Et le diagramme indique que son coin inférieur gauche est à l’origine zéro, zéro. Son centre géométrique et, par conséquent, son centre de gravité neuf, neuf.

Puisque le carré d’origine a été divisé en neuf carrés superposables, chacun de ces petits carrés doit avoir un coté de 18 sur trois, soit six centimètres. On peut alors en déduire que le centre géométrique de la plaque collée C est trois, trois et le centre géométrique du trou qu’elle laisse est 15, trois. Nous savons que la masse totale du système Σ 𝑚 𝑖 doit être égale à la masse initiale du grand carré 𝑚 un. Puisque ce grand carré était divisé à parts égales en neuf carrés plus petits, chacun des carrés plus petits doit avoir une masse d’un neuvième de la masse d’origine. Donc, 𝑚 deux est égal à 𝑚 un sur neuf.

Nous avons maintenant tout ce dont nous avons besoin pour trouver le centre de gravité de ce système de particules, ce qui équivaut à trouver le centre de gravité de la plaque résultante. En additionnant les produits des masses des plaques et les coordonnées de leurs centres de gravité, on obtient 𝑚 un fois neuf, neuf plus 𝑚 un sur neuf fois trois, trois moins 𝑚 un sur neuf fois 15, trois tous divisés par la masse totale 𝑚 un. Nous avons un facteur commun 𝑚 un entre tous les termes du numérateur et du dénominateur. Donc, tout cela sera simplifié. Cela nous laisse avec la somme des vecteurs neuf, neuf plus un neuvième fois trois, trois moins un neuvième fois 15, trois. Cela nous donne le vecteur position, le centre de gravité de la plaque, 𝐫 égal 23 sur trois, neuf. Cela nous donne notre réponse finale les coordonnées du centre de gravité de la plaque résultante 23 sur trois, neuf.