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Vidéo de la leçon: Racines cubiques de nombres rationnels Mathématiques • Deuxième préparatoire

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les racines cubiques de nombres rationnels.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les racines cubiques de nombres rationnels.

Nous commencerons par rappeler ce que nous savons de la racine cubique d’un cube parfait. La racine cubique d’un cube parfait 𝑛, écrite comme indiqué, est l’entier 𝑎 tel que 𝑎 au cube est égal à 𝑛. En particulier, nous avons la racine cubique de 𝑛 est égale à la racine cubique de 𝑎 au cube, qui est égale à 𝑎.

Nous allons maintenant considérer une propriété utile de la racine cubique d’un nombre en considérant le produit de deux cubes parfaits. Cela indique que si 𝑎 et 𝑏 sont des entiers, alors la racine cubique de 𝑎 au cube 𝑏 au cube est égale à 𝑎𝑏. Nous pouvons le prouver comme suit. Lorsque nous mettons au cube 𝑎 multiplié par 𝑏, nous obtenons 𝑎 au cube 𝑏 au cube. Et cela signifie que 𝑎𝑏 est la racine cubique de 𝑎 au cube 𝑏 au cube. Nous pouvons utiliser une idée similaire pour étendre cette définition de la racine cubique afin de prendre les racines cubiques des quotients des entiers. Si 𝑎 et 𝑏 sont des entiers et que 𝑏 n’est pas égal à zéro, alors la racine cubique de 𝑎 au cube sur 𝑏 au cube est égale à la racine cubique de 𝑎 au cube sur la racine cubique de 𝑏 au cube, qui est égale à 𝑎 sur 𝑏. Nous allons maintenant voir un exemple où nous devons utiliser cette propriété pour déterminer la racine cubique d’un nombre rationnel.

Calculez la racine cubique de 64 sur 343.

Dans cette question, nous essayons de déterminer la racine cubique d’un nombre rationnel. Nous rappelons que si 𝑎 et 𝑏 sont des entiers et que 𝑏 est différent de zéro, alors la racine cubique de 𝑎 sur 𝑏 est égale à la racine cubique de 𝑎 sur la racine cubique de 𝑏. Dans cette question, nous avons un type spécial de cette règle puisque le numérateur et le dénominateur de notre fraction sont des cubes parfaits. Dans ce cas, la racine cubique de 𝑎 au cube sur 𝑏 au cube est égale à la racine cubique de 𝑎 au cube sur la racine cubique de 𝑏 au cube. Et cela est égal à 𝑎 sur 𝑏. Nous devons calculer la racine cubique de 64 et la racine cubique de 343. Nous savons que quatre au cube est égal à 64. Cela signifie que la racine cubique de 64 peut être réécrite en tant que racine cubique de quatre au cube. Et cela équivaut à quatre. Sept au cube est égal à 343. Et cela signifie que la racine cubique de 343 est sept. Nous pouvons donc conclure que la racine cubique de 64 sur 343 est quatre septièmes.

Dans notre exemple suivant, nous déterminerons la racine cubique d’un nombre rationnel donné sous forme décimale.

Déterminez la valeur de la racine cubique de 0,027.

Afin de répondre à cette question, nous considérerons deux méthodes. Dans la première, nous commencerons par convertir le nombre décimal en une fraction. En utilisant nos connaissances de la valeur de position, nous savons que 0,027 est la même chose que vingt-sept millièmes. Cela signifie que nous essayons de calculer la racine cubique de vingt-sept millièmes. Ensuite, nous rappelons que si 𝑎 et 𝑏 sont des entiers et que 𝑏 est différent de zéro, la racine cubique de 𝑎 sur 𝑏 est égale à la racine cubique de 𝑎 sur la racine cubique de 𝑏. Nous pouvons donc calculer la racine cubique de 27 et la racine cubique de 1000 séparément. Puisque trois au cube est égal à 27, la racine cubique de 27 est trois. De même, comme 10 au cube est 1000, la racine cubique de 1000 est 10. La racine cubique de 27 divisée par la racine cubique de 1000 est donc égale à trois sur 10 ou trois dixièmes. Et c’est la valeur de la racine cubique de 0,027. En écrivant cette réponse sous forme décimale, nous avons 0,3.

Nous allons maintenant envisager une deuxième méthode que nous pourrions utiliser pour résoudre ce problème. Nous commençons par écrire 0,027 comme 27 multiplié par 0,001. Comme déjà mentionné, 27 est égal à trois au cube. De la même manière, 0,001 est égal à 0,1 au cube. On peut donc réécrire l’expression originale comme indiqué. En utilisant le fait que la racine cubique de 𝑎 au cube 𝑏 au cube est égale à 𝑎𝑏, nous pouvons réécrire le côté droit de notre équation comme trois multiplié par 0,1, ce qui nous donne une fois de plus une réponse finale de 0,3.

Dans notre exemple suivant, nous déterminerons la longueur des côtés d’un cube à partir de son volume.

Déterminez la longueur de côté d’un cube, étant donné que son volume est de 27 sur huit centimètres cubes.

Nous commençons par rappeler qu’un cube de longueur de côté 𝑙 centimètres aura un volume de 𝑙 centimètres cubes. Cela signifie que dans cette question, 𝑙 au cube est égal à 27 sur huit ou vingt-sept huitièmes. Nous notons que 27 et huit sont des cubes parfaits, puisque trois au cube égale 27 et deux au cube égale huit. Nous pouvons donc réécrire notre équation comme 𝑙 au cube est égal à trois au cube sur deux au cube. Pour résoudre ce problème, nous prenons la racine cubique des deux côtés. Rappelant que si 𝑎 et 𝑏 sont des entiers et que 𝑏 est différent de zéro, alors la racine cubique de 𝑎 au cube sur 𝑏 au cube est égale à 𝑎 sur 𝑏. Ensuite, le côté droit de notre équation se simplifie à trois sur deux. Et nous pouvons donc conclure que la longueur de côté d’un cube de 27 sur huit centimètres cubes est de trois sur deux centimètres. Il convient également de noter que nous pourrions écrire ceci sous forme décimale de 1,5 centimètres.

Dans le dernier exemple de cette vidéo, nous déterminerons le rayon d’une sphère à partir de son volume.

En supposant que la valeur de 𝜋 est 22 sur sept, déterminez le rayon d’une sphère étant donné que son volume est de 179,6 centimètres cubes périodique.

Nous commençons par rappeler la formule du volume d’une sphère. Il est égal à quatre tiers 𝜋𝑟 au cube. Dans cette question, on nous dit que le volume est égal à 179,6 centimètres cubes périodique. Nous savons que 0,6 périodique est égal à la fraction deux tiers. Cela signifie que le volume de la sphère peut être réécrit comme 179 et deux tiers centimètres cubes. Nous pouvons convertir ce nombre fractionnaire en une fraction impropre. Nous le faisons en multipliant le nombre entier par le dénominateur, puis en ajoutant le numérateur. 179 multiplié par trois plus deux est égal à 539. Le volume de la sphère est donc égal à 539 sur trois centimètres cubes. En substituant cette valeur dans notre formule avec la valeur de 𝜋 de 22 sur sept, nous avons 539 sur trois est égal à quatre tiers fois 22 sur sept multiplié par 𝑟 au cube. La simplification du côté droit nous donne 88 sur 21𝑟 au cube.

Ensuite, nous pouvons multiplier par trois de telle sorte que 539 soit égal à 88 sur sept 𝑟 au cube. Diviser par 88 sur sept, puis diviser le numérateur et le dénominateur par 11 nous donne 𝑟 au cube est égal à 343 sur huit. Nous pouvons alors prendre la racine cubique des deux côtés de cette équation. En notant que 343 et huit sont des cubes parfaits, comme deux au cube est égal à huit et sept au cube est égal à 343, nous avons 𝑟 est égal à la racine cubique de sept au cube sur deux au cube. Rappelant l’une des propriétés des racines cubiques que si 𝑎 et 𝑏 sont des entiers et que 𝑏 est différent de zéro, la racine cubique de 𝑎 au cube sur 𝑏 au cube est égale à 𝑎 sur 𝑏, cela signifie que 𝑟 est égal à sept sur deux, ce qui est 3,5 sous forme décimale. Si le volume d’une sphère est de 179,6 centimètres cubes périodique, alors son rayon est de 3,5 centimètres.

Nous allons maintenant terminer cette vidéo en récapitulant les points clés. Nous avons vu dans cette vidéo que si 𝑎 et 𝑏 sont des entiers, alors la racine cubique de 𝑎 au cube 𝑏 au cube est égale à 𝑎𝑏. De la même manière, si 𝑎 et 𝑏 sont des entiers et que 𝑏 n’égale pas zéro, alors la racine cubique de 𝑎 au cube sur 𝑏 au cube est égale à 𝑎 sur 𝑏. Nous avons également vu que dans certaines questions, nous pourrions avoir besoin de factoriser le numérateur et le dénominateur afin de déterminer leurs racines cubiques. Dans les deux derniers exemples, nous avons utilisé des racines cubiques pour des applications géométriques afin de calculer la longueur de côté d’un cube et le rayon d’une sphère.

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