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Vidéo question :: Évaluer la somme de l’intégrale définie d’une fonction constante Mathématiques • Troisième année secondaire

Calculez ∫ _ (- 5) ^ (- 4) 𝑘 d𝑥 + ∫_ (8) ^ (- 5) 𝑘 d𝑥, sachant que 𝑘 est une constante.

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Transcription de la vidéo

Calculez l’intégrale de moins cinq à moins quatre de 𝑘 par rapport à 𝑥 plus l’intégrale de huit à moins cinq de 𝑘 par rapport à 𝑥, sachant que 𝑘 est une constante.

Dans cette question, on nous donne deux intégrales définies et on nous demande d’évaluer leur somme. Le terme à intégrer dans les deux intégrales est composé d’une constante notée 𝑘. Les bornes inférieure et supérieure de la première intégrale sont respectivement moins cinq et moins quatre. Et les bornes inférieure et supérieure de la deuxième intégrale sont respectivement huit et moins cinq. Notez que, dans la première intégrale, la borne inférieure est inférieure à la borne supérieure. Et dans la deuxième intégrale, la borne inférieure est supérieure à la borne supérieure.

Pour répondre à cette question, nous utiliserons la propriété suivante. Pour toute constante 𝑐, l’intégrale de 𝑎 à 𝑏 de 𝑐 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑐 fois 𝑏 moins 𝑎. Rappelons que cette propriété est valable si 𝑎 est strictement inférieure à 𝑏, 𝑎 est égale à 𝑏 ou 𝑎 est strictement supérieure à 𝑏. En laissant 𝑎 égale moins cinq, 𝑏 égale moins quatre et 𝑐 égale 𝑘 dans cette propriété, nous constatons que l’intégrale de moins cinq à moins quatre de 𝑘 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑘 multipliée par moins quatre moins moins cinq, ce qui simplifie à 𝑘 multiplié par moins quatre plus cinq. Ceci équivaut à 𝑘.

Puisque la propriété est valable quand 𝑎 est supérieure à 𝑏, avec 𝑎 égale huit, 𝑏 égale moins cinq et 𝑐 égale 𝑘, nous constatons que l’intégrale de huit à moins cinq de 𝑘 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑘 multipliée par moins cinq moins huit, c’est-à-dire moins 13𝑘. Par conséquent, l’intégrale de moins cinq à moins quatre de 𝑘 par rapport à 𝑥 plus l’intégrale de huit à moins cinq de 𝑘 par rapport à 𝑥 équivaut à 𝑘 moins 13𝑘, c’est-à-dire moins 12𝑘. Voilà la réponse finale. Cependant, notez que la méthode que nous avons utilisée pour obtenir la réponse n’est pas la seule méthode que nous aurions pu utiliser.

Passons rapidement en revue une autre méthode pour répondre à la question. Rappelons que si nous avons deux intégrales qui partagent les mêmes termes à intégrer, avec la propriété que la borne supérieure de la première intégrale est égale à la borne inférieure de la deuxième intégrale, alors leur somme est égale à l’intégrale du même terme à intégrer de la borne inférieure de la première intégrale à la borne supérieure de la deuxième intégrale. Cette propriété est vraie si 𝑎 est strictement inférieure à 𝑏, 𝑎 est égale à 𝑏 ou 𝑎 est strictement supérieure à 𝑏.

Nous pouvons utiliser cette propriété pour répondre à la question. Nous pouvons échanger l’ordre des intégrales dans la somme qu’on nous demande d’évaluer et réécrire la somme à évaluer comme l’intégrale de huit à moins cinq de 𝑘 par rapport à 𝑥 plus l’intégrale de moins cinq à moins quatre de 𝑘 par rapport à 𝑥. Maintenant, nous pouvons voir que la borne supérieure de la première intégrale est égale à la borne inférieure de la deuxième intégrale. Par conséquent, en utilisant la propriété que nous venons de décrire, nous pouvons réécrire la somme à évaluer comme l’intégrale de huit à moins quatre de 𝑘 par rapport à 𝑥.

Pour 𝑎 égale huit, 𝑏 égale moins quatre et 𝑐 égale 𝑘 dans la première propriété que nous avons décrite, nous évaluons cette intégrale comme étant 𝑘 multipliée par moins quatre moins huit, c’est-à-dire moins 12𝑘, ce qui correspond à la réponse que nous avons trouvée précédemment. Nous avons donc vu deux méthodes qui peuvent être utilisées pour trouver la somme des intégrales définies qui nous sont données dans la question. Et les deux donnent une réponse de moins 12 𝑘.

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