Vidéo : Utiliser des fonctions réciproques pour résoudre des équations trigonométriques modélisant des situations réelles

La variation de température un jour d’hiver froid (en degrés Celsius) est modélisée par 𝑇 = 3 cos ((𝜋/12) (𝑡 − 14)) + 2, où est l’heure de la journée exprimée en heures après minuit. À quelle heure de la journée la température était-elle à 0°C ?

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Transcription de vidéo

La fluctuation de température un jour d’hiver froid, en degrés Celsius, est modélisée par 𝑇 est égal à trois cos de 𝜋 sur 12 fois 𝑡 moins 14 plus deux, où 𝑡 est l’heure du jour exprimée en heures après minuit. À quelle heure de la journée la température était-elle de zéro degré Celsius ?

Ce que cette question nous demande de faire, c’est de trouver le petit 𝑡 quand le grand 𝑇 est égal à zéro. Tout d’abord, considérons l’intervalle de valeurs que petit 𝑡 peut prendre. Comme 𝑡 est l’heure après minuit et qu’il y a 24 heures dans une journée, cela signifie que petit 𝑡 peut prendre des valeurs comprises entre zéro et 24. Nous obtenons donc que zéro est inférieur à 𝑡, qui est inférieur à 24.

Maintenant, lorsque nous examinons la fonction de température, nous voyons que nous avons cos de 𝜋 sur 12 fois 𝑡 moins 14. Pour faciliter le calcul de ces valeurs, nous devons trouver l’intervalle de valeurs de la partie à l’intérieur de la fonction cos. Donc, cela fait 𝜋 sur 12 fois 𝑡 moins 14. Pour trouver cet intervalle, il suffit d’adapter l’intervalle de valeurs de petit 𝑡 que nous avons déjà trouvé.

Commençons donc par soustraire 14 de chaque partie de l’inéquation. Et cela nous donne que moins 14 est inférieur ou égal à 𝑡 moins 14, qui est inférieur à 10. Nous pouvons maintenant multiplier chaque partie de l’inégalité par 𝜋 sur 12. Et on obtient ceci. Et nous pouvons simplifier ceci en moins sept 𝜋 sur six inférieur à 𝜋 sur12 fois 𝑡 moins 14, inférieur à cinq 𝜋 sur six. Et maintenant, nous avons trouvé notre intervalle de valeurs pour 𝜋 sur 12 fois 𝑡 moins 14.

Maintenant fixons grand 𝑇 à zéro. Cela nous donne que zéro est égal à trois cos de 𝜋 sur 12 fois 𝑡 moins 14 plus deux. Et nous pouvons réorganiser cela pour faire de la partie cos le sujet, ce qui nous donne que le cos de 𝜋 sur 12 fois 𝑡 moins 14 est égal à moins deux tiers. Afin de rendre ce look un peu plus agréable, nous pouvons substituer 𝜃 à 𝜋 sur 12 fois 𝑡 moins 14. Maintenant, tout ce que nous résolvons est cos de 𝜃 est égal à moins deux tiers. Et nous pouvons utiliser l’intervalle que nous avons trouvé plus tôt pour nous aider à résoudre ce problème.

Et cet intervalle est pour 𝜋 sur 12 fois 𝑡 moins 14, le même que pour 𝜃. Nous trouvons donc des valeurs de 𝜃 telles que moins sept 𝜋 sur six est inférieur à 𝜃, qui est inférieur à cinq 𝜋 sur six. Nous sommes maintenant prêts à résoudre le cos de 𝜃 est égal à moins deux tiers. Traçons la courbe représentative de cos pour nous aider à résoudre ce problème. Ici, nous avons notre graphique avec 𝑦 est égal à cos 𝜃. Maintenant, marquons l’intervalle pour 𝜃. Nous avons que moins sept 𝜋 sur six est inférieur à 𝜃.

Nous pouvons donc tracer une ligne continue à moins sept 𝜋 sur six. Ensuite, nous avons également que 𝜃 est inférieur à cinq 𝜋 sur six. Nous traçons donc une ligne en pointillé à cinq 𝜋 sur six. Ensuite, ajoutons la ligne 𝑦 est égal à moins deux tiers. Et donc les solutions à notre équation où les deux lignes 𝑦 est égal à moins deux tiers et 𝑦 est égal à cos 𝜃 se croisent. Comme nous pouvons le voir, nous avons deux solutions.

Taper cos réciproque de moins deux sur trois sur notre calculatrice nous donne une valeur de 2.300523983. Et cette valeur est comprise entre 𝜋 sur deux et 𝜋. C’est donc la solution à droite de notre graphique. Pour trouver l’autre solution, on peut utiliser le fait que la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Cela signifie donc que la deuxième solution sera simplement l’opposé de la première solution. Cela nous donne moins 2.300523983.

Nous pourrions arrondir ici. Cependant, cela pourrait nous amener à perdre la précision de notre réponse. Alors gardons ces deux valeurs comme étant cos réciproques de moins deux tiers pour le moment. Nous avons que 𝜃 est égal à cos réciproque de moins deux tiers. Nous pouvons maintenant remplacer par ce 𝜃 que nous avions auparavant. Nous avons donc que 𝜋 sur 12 fois 𝑡 moins 14 est égal à cos réciproque de moins deux tiers. Réorganisons cela pour obtenir 𝑡.

On peut commencer par multiplier les deux membres par 12 sur 𝜋. Et maintenant, nous ajoutons simplement 14 des deux côtés. Et nous obtenons que 𝑡 est égal à 14 plus 12 sur 𝜋 cos réciproque de moins deux tiers. Il ne nous reste plus qu’à remplacer les deux valeurs de cos réciproque de moins deux tiers que nous avons trouvées précédemment. La substitution dans la solution positive nous donne 𝑡 est égal à 22.78735433 heures. Et en substituant dans la solution négative, on a que 𝑡 est égal à 5.212645674 heures.

Maintenant, puisque nous ne pouvons pas conserver une décimal d’une heure. Nous devons convertir ces décimales en minutes. Pour ce faire, nous pouvons prendre la partie décimale et la multiplier par 60. Nous obtenons donc une réponse de 47 minutes. C’est suffisant comme arrondi ici car nous n’avons pas besoin d’être plus précis que les minutes. Pour le deuxième instant que nous avons calculé, nous devons maintenant multiplier par 60 la partie après la virgule. Cela nous donne un temps de 13 minutes. Donc, il faisait zéro degré à la fois à cinq heures et 13 minutes après minuit et 22 heures et 47 minutes après minuit.

En écrivant ces moments de la journée, nous obtenons une solution de 5 h 13 et 22 h 47.

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