Transcription de la vidéo
Une plaque homogène ayant la forme d'un carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 de côté 222 centimètres a une masse d'un kilogramme. Les milieux de 𝐴𝐷, 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 sont respectivement désignés par 𝑇, 𝑁 et 𝐾. Les coins 𝑇𝐴𝑁 et 𝑁𝐵𝐾 ont été pliés afin qu'ils se situent sur la surface de la plaque. Des objets de masses 365 grammes et de 294 grammes ont été respectivement attachés aux points 𝑇 et 𝐾. Déterminez les coordonnées du centre de gravité du système, en arrondissant ta réponse au centième près, si nécessaire.
Cette question peut être résolue en modélisant le système comme consistant uniquement en des corps de masse positive. Ceux-ci seraient le rectangle 𝐶𝐷𝑇𝐾, le triangle 𝐾𝑇𝑁 et les masses ajoutées en 𝑇 et 𝐾. Cependant, dans ce cas, nous allons résoudre le problème en utilisant la méthode de la masse négative. Nous modéliserons le système comme contenant des corps de masse positive constitués des masses ajoutées en 𝑇 et 𝐾, du carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 et du triangle 𝐾𝑇𝑁, et contenant également des corps de masse négative constitués de triangles 𝑇𝐴𝑁 et 𝐾𝐵𝑁. Pour utiliser la méthode de la masse négative, nous devons trouver la masse relative de chacun d’eux ainsi que les coordonnées 𝑥 et 𝑦 de leurs centres de gravité correspondants.
Commençons par considérer la masse relative de chaque partie du système. On nous dit dans la question que la plaque de forme carrée 𝐴𝐵𝐶𝐷 a une masse de un kilogramme. Et la conversion en grammes donne 1000 grammes. Au point 𝑇, nous avons une masse de 365 grammes et au point 𝐾 une masse de 294 grammes. Puisque l’aire du triangle 𝐾𝑇𝑁 est un quart de l’aire du carré, sa masse est un quart de la masse de la plaque carrée. Et puisqu’un quart de 1000 est 250, la masse du triangle supplémentaire est de 250 grammes.
Enfin, la masse totale des deux triangles de masse négative est moins le quart de la masse de la plaque carrée. En prenant un demi de la valeur moins 250, nous voyons que les masses relatives des triangles 𝑇𝐴𝑁 et 𝐾𝐵𝑁 sont de moins 125 grammes. Notre prochaine étape consiste à trouver les coordonnées 𝑥 et 𝑦 des centres de gravité de chaque partie du système. Pour ce faire, nous allons commencer par identifier les coordonnées des points à l’extérieur du carré. Comme le point 𝐶 se situe à l’origine, il a les coordonnées zéro, zéro.
On nous dit que le carré avait une longueur de côté de 222 centimètres. Cela signifie que 𝐵 a les coordonnées 222, zéro ; le point 𝐴 a les coordonnées 222, 222 ; et le point 𝐷 a les coordonnées zéro, 222. On nous a dit dans la question que les points 𝑇, 𝑁 et 𝐾 sont les milieux respectifs de 𝐴𝐷, 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶. Puisque un demi de 222 est 111, 𝐾 a les coordonnées 111, zéro ; 𝑇 a les coordonnées 111, 222 ; et 𝑁 a les coordonnées 222, 111. Nous savons que le carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 est uniforme, donc la position de son centre de gravité est son centre géométrique. Cela se trouve au point 111, 111. Ainsi, les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du centre de gravité de 𝐴𝐵𝐶𝐷 sont toutes les deux 111.
Comme déjà établi, la masse supplémentaire de 365 grammes en 𝑇 se situe au point 111, 222. Et la masse supplémentaire de 294 grammes en 𝐾 se situe au point 111, zéro. Ensuite, nous considérons le triangle 𝐾𝑇𝑁, en rappelant qu’il existe plusieurs méthodes pour trouver le centre de gravité d’un triangle. Si nous connaissons les coordonnées des trois sommets du triangle, nous pouvons trouver la moyenne des abscisses 𝑥 et la moyenne des ordonnées 𝑦. La somme des abscisses 𝑥 aux sommets 𝐾, 𝑇 et 𝑁 est 111 plus 111 plus 222. Et la division par trois nous donne 148. L’abscisse 𝑥 du centre de gravité du triangle 𝐾𝑇𝑁 est 148. En répétant cela pour les ordonnées 𝑦 des trois sommets, nous avons zéro plus 222 plus 111 divisé par trois. Comme cela est égal à 111, l’ordonnée 𝑦 du centre de gravité du triangle 𝐾𝑇𝑁 est 111.
Nous pouvons répéter ce processus pour les triangles 𝑇𝐴𝑁 et 𝐾𝐵𝑁. Le centre de gravité du triangle 𝑇𝐴𝑁 se situe au point 185,185. Et le centre de gravité du triangle 𝐾𝐵𝑁 se trouve au point 185, 37. Nous pouvons maintenant trouver les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du centre de gravité du système. Pour calculer l’abscisse 𝑥, que nous appellerons 𝑥 barre, nous multiplions la masse de chaque corps du système par l’abscisse 𝑥 du centre de gravité du corps relatif, puis nous divisons par la somme des masses. Cela nous donne l’équation suivante.
Nous faisons un peu de l’espace pour continuer, nous avons 𝑥 barre égal 174899 divisé par 1659, qui, au centième près, est 105.42. Nous pouvons ensuite répéter ce processus pour calculer l’ordonnée 𝑦 barre. Cette fois, l’équation se simplifie en 192030 divisé par 1659. Et en arrondissant au centième près, cela équivaut à 115,75. Nous pouvons donc conclure que les coordonnées du centre de gravité du système sont 105,42, 115,75.
