Transcription de la vidéo
Déterminez les extrema locaux de 𝑓 de 𝑥 est égal à moins deux 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré plus 12𝑥.
J’ai réalisé un petit croquis pour illustrer ce que nous allons faire dans cette question. Nous voulons donc trouver les maximum et minimum locaux de notre fonction. J’ai donc dessiné ici la courbe de notre fonction. Et comme vous pouvez le voir, aux points maximum et minimum, notre pente ou 𝑚 va être égale à zéro. Donc, pour trouver ces points, nous allons dériver notre fonction, moins deux 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré plus 12𝑥, afin de trouver l’équation de la pente.
Si nous dérivons notre fonction, notre premier terme sera moins six 𝑥 au carré. À titre de rappel, nous avons obtenu cela parce que nous avons multiplié l’exposant par le coefficient, donc trois multiplié par moins deux, ce qui donne moins six. Et maintenant, nous réduisons l’exposant de un. Nous avons donc 𝑥 au carré.
Très bien ! Notre prochain terme sera simplement plus six 𝑥. Et notre dernier terme sera plus 12, pour nous laisser avec l’équation de la pente, c’est-à-dire moins six 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus 12. Bon, si nous regardons la courbe que nous avons tracée, nous pouvons voir que, pour trouver les points maximum et minimum, nous devons trouver les points où la pente est égale à zéro. Pour ce faire, nous allons assimiler notre fonction de la pente égale à zéro. Donc, nous avons maintenant zéro est égal à moins six 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus 12.
Nous pouvons commencer à résoudre cette équation. Tout d’abord, ce que nous allons faire, c’est multiplier chaque membre par moins un. Simplement pour avoir plus 𝑥 au carré. Nous obtenons donc zéro est égal à six 𝑥 au carré moins six 𝑥 moins 12. Je réalise cette étape parce que cela facilite la résolution à ce stade.
Maintenant, nous allons en fait diviser trois par six. Et nous allons le faire à nouveau car cela simplifie notre polynôme et le rend plus facile à résoudre. Donc, nous nous retrouvons maintenant avec zéro est égal à 𝑥 au carré moins 𝑥 moins deux, que nous pouvons résoudre en factorisant, car si nous factorisons notre polynôme, ce que nous obtenons est 𝑥 moins deux multiplié par 𝑥 plus un. Et nous y parvenons car avec moins deux et plus un, le produit vaut moins deux. Donc, moins deux multiplié par un nous donne moins deux. Et la somme doit être égale à moins un, car c’est le coefficient de notre terme en 𝑥. Eh bien, moins deux plus un vaut moins un.
Parfait ! Maintenant, nous avons nos facteurs. Utilisons-les pour trouver nos valeurs. Alors nous obtenons 𝑥 est égal à deux ou moins un. Et ces valeurs sont en fait les abscisses 𝑥 des valeurs critiques. Alors, ce que nous voulons, c’est savoir quelle sera la valeur de notre fonction en ces points. Donc, je vais remplacer 𝑥 est égal à deux et 𝑥 est égal à moins un.
Donc, si nous substituons 𝑥 est égal à deux dans notre fonction, cela va être égal à moins deux multiplié par deux au cube plus trois multiplié par deux au carré plus 12 multiplié par deux, ce qui nous donne moins 16 plus 12 plus 24, c’est-à-dire 20. Donc, l’un de nos points est deux, 20. Il s’agit de l’un des points critiques. Donc, il s’agit d’un maximum ou d’un minimum.
Alors maintenant, lorsque nous substituons moins un à 𝑥, nous obtenons moins deux fois moins un au cube plus trois fois moins un carré plus 12 fois moins un. Nous allons donc obtenir deux plus trois moins 12, ce qui équivaut à moins sept. Donc, notre deuxième point est moins un, moins sept.
Très bien ! Nous avons donc nos deux points. Mais maintenant, nous voulons savoir lequel est le maximum local et lequel est le minimum local. Donc, pour décider, nous pouvons utiliser la relation avec la dérivée seconde pour nous aider, car nous savons que si la dérivée seconde est supérieure à zéro, alors le point est un minimum local. Mais si la dérivée seconde est inférieure à zéro, alors le point est un maximum local.
Et nous le savons parce que si nous regardons la dérivée seconde, si elle va être positive ou supérieure à zéro, alors nous allons regarder cette partie du graphique, qui est en fait convexe. Donc, il va s’agir d’un minimum local. Si la dérivée seconde est négative, alors la fonction deviendra concave.
Fantastique ! Maintenant que nous le savons. Trouvons la dérivée seconde. Pour trouver la dérivée seconde, ce que nous allons faire, c’est dériver notre équation de la pente, qui était moins six 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus 12. Et quand nous faisons cela, il nous reste moins 12𝑥 plus six. Maintenant, nous allons remplacer 𝑥 par nos valeurs pour déterminer s’il s’agit d’un maximum local ou d’un minimum local.
Donc, tout d’abord, si nous remplaçons 𝑥 par deux, nous allons obtenir moins 12 multiplié par deux plus six, ce qui va être égal à moins 24 plus six, c’est-à-dire moins 18. Donc, il s’agit d’un maximum local. Et si nous remplaçons 𝑥 par moins un, nous allons obtenir moins 12 multiplié par moins un plus six, ce qui équivaut à 12 plus six, c’est-à-dire 18. Et comme 18 est positif, il s’agit d’un minimum local.
Parfait ! On peut donc dire que le minimum local de 𝑓 de 𝑥 est égal à moins deux 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré plus 12𝑥 est égal à moins sept pour 𝑥 égal à moins un. Et le maximum local est égal à 20 pour 𝑥 égal à deux.