Video Transcript
Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction à partir de sa représentation graphique. Tout d’abord, nous allons étudier les définitions d’ensemble de définition et d’ensemble image. Si nous représentons une fonction quelconque à l’aide de cette machine, l’ensemble de définition représentera les valeurs qui entrent dans la machine. L’ensemble de définition représente toutes les valeurs possibles en entrée, ces valeurs sont indépendantes. Ce que l’on entre dans la machine est donc la valeur de la variable indépendante. Et dans un repère classique, cela correspond aux abscisses, les 𝑥. L’axe des 𝑥 représente les variables indépendantes. Et l’ensemble image est l’ensemble de toutes les valeurs possibles qui résulteront de ces valeurs indépendantes. C’est associé à la variable dépendante. Et dans un repère classique, c’est la valeur de 𝑦, les ordonnées. Les valeurs des 𝑦 sont les valeurs de sortie de la fonction. Les valeurs des 𝑥 sont les entrées, et les valeurs des 𝑦 seront les sorties.
Pour approfondir cela, nous allons commencer par regarder quelques représentations graphiques et quelques exemples.
L’ensemble de définition de la fonction 𝑓 de 𝑥 est
Ici, la fonction 𝑓 de 𝑥 est représentée par ces cinq points. Tout d’abord, nous nous rappelons que l’ensemble de définition est l’ensemble de toutes les valeurs de 𝑥 possibles pour une fonction. Nous savons que l’axe des abscisses est l’axe horizontal dans un repère classique, ce qui signifie que les valeurs de 𝑥 de cette fonction seront obtenues en regardant là où ces points se projettent sur l’axe horizontal. Tout-à-fait à gauche, nous avons un point à moins sept. À droite, nous avons un point à moins six, suivi de moins cinq, moins quatre et moins trois.
Il est important de noter que ces points ne sont pas connectés entre eux. Pour cette raison, nous savons que cette fonction n’est pas continue et que son ensemble de définition sera constitué de la liste des valeurs possibles de 𝑥. En notation ensembliste, cela donne: moins sept, moins six, moins cinq, moins quatre et moins trois.
Nous pouvons aussi déterminer l’ensemble image. L’ensemble image représente l’ensemble des valeurs possibles de 𝑦. Ces valeurs représentent les distances par rapport à l’origine du repère des projections des points sur l’axe vertical. Pour cette fonction, les valeurs de 𝑦 sont un, deux, trois, quatre et cinq. En notation ensembliste on écrit: un, deux, trois, quatre, cinq.
Comme la question ne concernait que l’ensemble de définition, la réponse est : l’ensemble moins sept, moins six, moins cinq, moins quatre et moins trois.
Etudions un autre exemple.
Déterminez l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à moins quatre.
Sur la figure, on peut voir la représentation graphique de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à moins quatre. Afin de déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image, on se souvient que pour l’ensemble de définition on s’intéresse aux valeurs des abscisses, les 𝑥, et pour l’ensemble image, aux valeurs des 𝑦, les ordonnées, dans le repère. On rappelle également que l’ensemble de définition représente la variable indépendante. C’est la variable que nous donnons à notre fonction. Nous voulons savoir quel est l’ensemble des valeurs possibles de 𝑥.
Sur la figure, il semblerait que 𝑥 ne va que de moins quatre à plus quatre. Cependant, nous observons qu’il s’agit d’une fonction qui est continue dans les deux directions. À droite, 𝑥 continuerait vers plus ∞ et à gauche vers moins ∞. Alors, comment pourrions-nous écrire cela comme un ensemble de définition?
On peut utiliser ce symbole qui ressemble un peu à un R. Ce symbole représente l’ensemble des nombres réels. Ainsi, 𝑥 peut prendre n’importe quelle valeur réelle.
Qu’en est-il de l’ensemble image? L’ensemble image est un petit peu différent ici. L’ensemble image représente l’ensemble des valeurs de 𝑦, c’est-à-dire la distance vers le haut ou vers le bas en partant de zéro. Pour toute valeur de 𝑥 dans cette fonction, 𝑦 est toujours égal à moins quatre. 𝑦 ne change pas. Et cela représente la seule image, la seule sortie de cette fonction, qui est moins quatre. L’ensemble image est donc le singleton moins quatre. Et donc nous pouvons dire que pour la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à moins quatre, l’ensemble de définition est l’ensemble des nombres réels et l’ensemble image est l’ensemble moins quatre.
Dans l’exemple suivant, on connait la courbe représentative d’une fonction cubique et nous devrons déterminer son ensemble de définition et son ensemble image.
Trouvez l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction 𝑓 de égale à 𝑥 moins un au cube dans l’ensemble des réels.
On a déjà la représentation graphique de cette fonction, 𝑥 moins un au cube. Il ne nous reste donc qu’à réfléchir pour déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image de cette fonction. L’ensemble de définition est constitué de l’ensemble des valeurs possibles de 𝑥 et l’ensemble image de toutes les valeurs possibles de 𝑦. Il est important de noter que lorsque nous avons une représentation graphique comme celle-ci, cela signifie que la courbe continu dans les deux directions. Bien que nous ne voyions qu’un morceau de cette fonction, de 𝑥 allant de moins deux à plus trois, nous savons qu’elle se prolonge en réalité dans les deux directions. La même chose est vraie pour les valeurs de 𝑦. Nous ne voyons que des valeurs de 𝑦 allant jusqu’à plus 10 en haut et moins 10 en bas.
Cependant, cette fonction continue en dehors de cette fenêtre. Dans ce cas, notre ensemble de définition et notre ensemble image n’ont aucune limite. L’ensemble de définition est donc tous les nombres réels, et l’ensemble image également. On peut également écrire ceci en notation d’intervalle au lieu de la notation ensembliste. L’intervalle de l’ensemble de définition s’écrit ainsi moins ∞ plus ∞. Et pour cette fonction, il en est de même de l’ensemble image, c’est l’ensemble des nombres réels ou moins ∞ plus ∞.
Avec la notation d’intervalle ici, il est important de noter que nous utilisons des crochets orientés vers l’extérieur lorsque nous n’incluons pas ce qui se trouve à côté de ces crochets. Donc, ce que cela signifie, c’est que nous voulons aller jusqu’à plus ∞ mais sans inclure plus ∞.
Dans le prochain exemple, nous allons nous intéresser à l’ensemble de définition et à l’ensemble image d’une fonction définie par morceaux.
Déterminez l’ensemble de définition de la fonction suivante.
Nous savons que l’ensemble de définition de cette fonction sera l’ensemble de toutes les valeurs de 𝑥 possibles. Dans un repère, c’est valeurs se situent sur l’axe des 𝑥, l’axe des abscisses, l’axe horizontal. Nous identifions des valeurs allant de moins sept à plus sept. Cependant, nous remarquons que les flèches de chaque côté de la courbe indiquent que cette fonction se prolonge indéfiniment. À gauche, le courbe continue vers moins ∞ et à droite vers plus ∞.
Mais, regardons bien ce qui se passe en zéro. Lorsque 𝑥 est égal à zéro, cette fonction a-t-elle une image? Et bien oui, car le point y est coloré, l’image de la fonction y est donc quatre. Zéro, quatre est un point de la courbe, par contre zéro, moins quatre n’en est pas un. Puisque nous avons une image en zéro, nous avons bien des images pour tous les nombres réels et l’ensemble de définition est donc l’ensemble des réels.
On ne nous demande pas de déterminer l’ensemble image. Mais si nous voulions le déterminer, cela représenterait toutes les valeurs de sortie, l’ensemble des valeurs possibles de 𝑦. Et nous voyons qu’il n’y a que deux valeurs possibles: quatre et moins quatre. En notation ensembliste, nous pourrions écrire que l’ensemble image est moins quatre quatre. Comme la question nous a seulement demandé de déterminer l’ensemble de définition, nous pouvons simplement dire que l’ensemble de définition est l’ensemble de tous les réels.
Dans notre dernier exemple, nous allons à la courbe représentative d’une fonction qui a des limites à son ensemble de définition et à son ensemble image.
Trouvez l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à moins un sur 𝑥 moins cinq.
On a déjà la représentation graphique de cette fonction. Et nous pouvons utiliser celle-ci pour identifier à la fois l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction. L’ensemble de définition est l’ensemble de toutes les valeurs possibles de 𝑥. Et sur la figure, nous pouvons utiliser l’axe des 𝑥 pour les identifier. Et l’ensemble image est l’ensemble de toutes les valeurs possibles de 𝑦. Nous allons utiliser l’axe des 𝑦 pour les identifier.
Mais avant de faire cela, examinons attentivement le comportement de la fonction. Nous voyons que celle-ci comporte deux parties: une au-dessus de l’axe des abscisses et une en-dessous. Et ensuite nous avons cette ligne en pointillée. Lorsque nous avons une ligne en pointillée comme celle-ci à côté d’une courbe représentative, cela représente une asymptote de la fonction. Une asymptote est une droite de laquelle une courbe se rapproche toujours plus à l’∞. La courbe ne coupera jamais l’asymptote. Cette asymptote est située en 𝑥 égale cinq. Cela signifie que nous pouvons dire, avec certitude, que l’ensemble de définition ne contient pas la valeur cinq.
Mais si nous regardons le reste de la fonction, nous pouvons voir que les valeurs de 𝑥 n’ont pas de limites à gauche et à droite. Donc 𝑥 peut prendre toutes les valeurs sauf cinq, ce qui signifie que l’ensemble de définition est l’ensemble de tous les réels privé du nombre cinq. Si nous nous intéressons à l’ensemble image, nous nous intéressons à la position verticale de notre courbe. Et encore une fois, nous remarquons qu’il y a une partie de la courbe au-dessus de l’axe des 𝑥 et une partie en dessous. Même s’ils n’y a pas de ligne en pointillée, l’axe des 𝑥 représente une autre asymptote de cette fonction. La valeur des 𝑦 de cette fonction se rapproche de plus en plus de zéro, mais elle ne l’atteint jamais. Et cela est vrai à la fois à gauche et à droite de cette fonction. Cela signifie que les valeurs possibles de 𝑦 sont tous les nombres réels sauf zéro.
Et donc, de la même manière, nous écrivons que l’ensemble image est l’ensemble des réels privé du singleton zéro. Les singletons cinq et zéros dans les écritures ensemblistes de l’ensemble de définition et de l’ensemble image représentent les asymptotes verticale et horizontale de la fonction.
Avant de terminer, passons en revue quelques points clés de cette vidéo. L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs possibles de la variable indépendante. L’ensemble image d’une fonction est l’ensemble des valeurs résultantes de l’ensemble de définition. Étant donné la courbe représentative d’une fonction, l’ensemble de définition est l’ensemble des valeurs possibles des abscisses, 𝑥, et l’ensemble image est l’ensemble des valeurs possibles des images, les ordonnés des points, les 𝑦.
