Vidéo question :: Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction définie par morceaux, compte tenu de sa représentation graphique Mathématiques

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Déterminez l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 est égal à six lorsque 𝑥 est strictement inférieur à zéro et 𝑓 de 𝑥 est égal à moins quatre lorsque 𝑥 est strictement supérieur à zéro.

Dans cette question, on nous donne une fonction définie par morceaux 𝑓 de 𝑥 et la courbe 𝑦 est égale à 𝑓 de 𝑥. Nous devons l’utiliser pour déterminer l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥 et l’ensemble image de 𝑓 de 𝑥. Alors, commençons par rappeler ce que nous entendons par ensemble de définition et ensemble image d’une fonction.

Premièrement, l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs d’entrée pour cette fonction. Deuxièmement, l’ensemble image d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs de sortie de notre fonction étant donné son l’ensemble de définition. Commençons par trouver l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓 de 𝑥. Il y a deux façons différentes de le faire. Tout d’abord, nous pouvons simplement regarder la fonction définie par morceaux 𝑓 de 𝑥. Nous voulons trouver toutes les valeurs d’entrée possibles de notre fonction. Nous pouvons voir à partir de la définition par morceaux de notre fonction que notre fonction produit six lorsque 𝑥 est strictement inférieur à zéro et moins quatre lorsque 𝑥 est supérieur à zéro. Ces deux inégalités sont appelées les sous-ensembles de définition de notre fonction définie par morceaux. Ils nous indiquent les valeurs d’entrée de 𝑥 pour lesquelles notre fonction correspond à la sous-fonction donnée.

Nous pouvons voir que nous sommes autorisés à entrer une valeur de 𝑥 strictement inférieure à zéro ou une valeur de 𝑥 strictement supérieure à zéro. Il s’agit de toute valeur de 𝑥 qui n’est pas égale à zéro. Ainsi, nous pouvons entrer une valeur de 𝑥 qui n’est pas égale à zéro dans notre fonction. Rappelez-vous, nous écrivons l’ensemble de définition sous forme d’ensemble. Ainsi, l’ensemble de définition de cette fonction est l’ensemble de tous les nombres réels moins l’ensemble contenant zéro. Cependant, ce n’est pas la seule façon de trouver les valeurs d’entrée de notre fonction car on nous donne une représentation graphique de la fonction.

Rappelez-vous, sur une représentation graphique, la coordonnée 𝑥 de tout point sur notre courbe nous indique la valeur d’entrée de 𝑥 et la coordonnée 𝑦 nous indique la sortie correspondante de la fonction. Par exemple, lorsque 𝑥 est égal à cinq, nous pouvons voir que le point avec les coordonnées cinq, moins quatre se trouve sur notre graphique. Par conséquent, nous pouvons entrer la valeur de cinq dans notre fonction. 𝑓 calculée en cinq donne moins quatre. Ainsi, cinq est dans l’ensemble de définition de notre fonction.

Une autre façon de dire cela est qu’il y a un point d’intersection entre la ligne verticale 𝑥 égale cinq et le graphique donné. Cela est parfois appelé le test de la ligne verticale. Nous considérons les lignes verticales et recherchons les points d’intersection. S’il n’y a pas de points d’intersection, alors cette valeur n’appartient pas à l’ensemble de définition de notre fonction. Nous pouvons penser à glisser une ligne verticale sur notre figure. Par exemple, si 𝑥 est égal à 1,5, nous pouvons voir qu’il y a un point d’intersection avec notre graphique. Ainsi, 𝑥 est égal à 1,5 est dans l’ensemble de définition de notre fonction. Nous pourrions nous inquiéter des valeurs de 𝑥 supérieures à neuf car il semble que cela ne coupe pas notre fonction. Cependant, nous pouvons remarquer que la fin de notre graphique a une flèche et cette notation signifie que notre graphique continue à l’infini dans cette direction.

Il en sera de même pour l’autre flèche de notre figure. Ainsi, toute ligne verticale sur la partie positive de notre axe des 𝑥 coupera le graphique. En fait, il en va de même pour la partie négative de notre axe des 𝑥. Toute ligne verticale coupera le graphique. Cependant, nous n’avons pas envisagé ce qui se passera lorsque notre valeur de 𝑥 sera égale à zéro. Nous pouvons voir sur notre figure qu’il y a deux points qui semblent être sur notre graphique lorsque 𝑥 est égal à zéro. Cependant, les deux sont des cercles creux, ce qui signifie que notre fonction n’est pas définie à ce stade. Ainsi, la ligne 𝑥 égale zéro ne coupe pas notre graphique, donc zéro n’appartient pas à l’ensemble de définition de notre fonction. Par conséquent, nous avons montré graphiquement que l’ensemble de définition de notre fonction est l’ensemble de toutes les valeurs réelles sauf zéro.

Libérons de l’espace, puis déterminons l’ensemble image de notre fonction. Rappelez-vous, il s’agit de l’ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles de notre fonction étant donné l’ensemble de définition. Encore une fois, il y a deux façons différentes de le faire. Nous pouvons le faire directement à partir de la définition par morceaux de 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons voir que lorsque notre valeur d’entrée de 𝑥 est strictement inférieure à zéro, notre valeur de sortie est une valeur constante de six. Lorsque 𝑥 est strictement supérieur à zéro, notre valeur de sortie est une valeur constante de moins quatre. En fait, il n’y a que deux valeurs de sortie possibles de notre fonction. L’ensemble image est l’ensemble de ces valeurs de sortie possibles. L’ensemble image de notre fonction est l’ensemble contenant moins quatre et six.

Nous pourrions nous arrêter ici ; cependant, il est également important de pouvoir déterminer l’ensemble image d’une fonction à partir de sa représentation graphique. Cette fois, rappelez-vous, les valeurs de sortie de notre fonction sont représentées par leurs coordonnées 𝑦 sur le graphique. Ainsi, nous pouvons déterminer l’ensemble image d’une fonction en déterminant toutes les coordonnées 𝑦 possibles des points de la courbe. Cependant, nous pouvons voir sur notre figure qu’il n’y a que deux coordonnées 𝑦 possibles pour un point sur la courbe. Soit il a une coordonnée 𝑦 de six, soit il a une coordonnée 𝑦 de moins quatre, confirmant que l’ensemble image est l’ensemble contenant moins quatre et six.

Par conséquent, nous avons pu montrer pour la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à six lorsque 𝑥 est strictement inférieur à zéro et 𝑓 de 𝑥 est égal à moins quatre lorsque 𝑥 est strictement supérieur à zéro, l’ensemble de définition de cette fonction est l’ensemble des nombres réels à l’exclusion de zéro et l’ensemble image de cette fonction est l’ensemble contenant moins quatre et six.