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Vidéo question :: Appliquer des opérations sur des matrices afin de déterminer des inconnues Mathématiques • Première année secondaire

Considérons les matrices 𝐴 = (0, −4 et 2, −2), 𝐵 = (−5, 6 et 𝑥, 𝑦). Si 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴, quelles sont les valeurs de 𝑥 et 𝑦 ?

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Transcription de la vidéo

Considérons les matrices 𝐴 égal zéro, moins quatre, deux, moins deux, 𝐵 égal moins cinq, six, 𝑥, 𝑦. Si 𝐴𝐵 est égal à 𝐵𝐴, quelles sont les valeurs de 𝑥 et 𝑦 ?

Pour répondre à cette question, nous devons commencer par calculer 𝐴𝐵 et 𝐵𝐴. Rappelez-vous, elles ne sont pas toujours identiques du fait que la multiplication matricielle n’est pas commutative. Elle ne peut pas être effectuée dans n’importe quel ordre. Nous devrons donc les calculer séparément. Pour trouver 𝐴𝐵, nous calculons le produit scalaire des lignes de la première matrice et des colonnes de la seconde. Voyons à quoi cela ressemble.

Pour trouver le premier élément de la première ligne, nous allons trouver le produit scalaire de la ligne zéro, moins quatre et de la colonne avec les éléments moins cinq, 𝑥. C’est zéro multiplié par moins cinq plus moins quatre multiplié par 𝑥. Zéro multiplié par moins cinq donne zéro. Donc, c’est simplement moins quatre 𝑥. Pour trouver le second élément de notre première ligne, nous répétons ce processus, en calculant le produit scalaire de la première ligne de la première matrice et de la seconde colonne de la seconde matrice. Cette fois, zéro multiplié par six plus moins quatre multiplié par 𝑦, ce qui donne moins quatre 𝑦.

Pour trouver le premier élément de la seconde ligne, nous calculons le produit scalaire des éléments dans la seconde ligne et la première colonne. Cette fois, c’est deux fois moins cinq plus moins deux fois 𝑥, c’est-à-dire moins 10 moins deux 𝑥. Et enfin, nous calculons le produit scalaire des éléments sur la seconde ligne de la première matrice et la seconde colonne de la seconde matrice. Cela donne deux fois six plus moins deux fois 𝑦, soit 12 moins deux 𝑦.

Recommençons ceci pour 𝐵𝐴. Le premier élément vaut moins cinq multiplié par zéro plus six multiplié par deux, c’est-à-dire 12. La deuxième élément vaut moins cinq multiplié par moins quatre, soit 20, plus six multiplié par moins deux, ce qui donne moins 12. Et cela se simplifie pour faire huit. En réalité, n’avons rien à faire de plus. Nous pouvons résoudre ce problème. Mais complétons cette matrice.

𝑥 multiplié par zéro plus 𝑦 multiplié par deux vaut simplement deux 𝑦. Et 𝑥 multiplié par moins quatre plus 𝑦 multiplié par moins deux vaut moins quatre 𝑥 moins deux 𝑦. Et on nous dit que ces matrices sont identiques. Cela signifie que chacun de leurs éléments individuels doivent être les mêmes. Et nous pouvons dire que moins quatre 𝑥 est égal à 12. Et que moins quatre 𝑦 est égal à huit. Et nous allons résoudre ces équations pour trouver respectivement 𝑥 et 𝑦.

Pour résoudre cette première équation, nous divisons par moins quatre. Cela nous donne que 𝑥 est égal à moins trois. Et de même, nous résolvons la seconde équation en divisant par moins quatre. Et cette fois, nous obtenons que 𝑦 est égal à moins deux. Une fois que nous avons ceci, nous pouvons vérifier nos réponses. Nous pouvons substituer les valeurs de 𝑥 et 𝑦 que nous avons trouvées dans l’équation.

Substituer 𝑥 égal moins trois dans l’expression moins 10 moins deux 𝑥 nous donne moins quatre. Et substituer 𝑦 égal moins deux dans l’expression deux 𝑦 nous donne également moins quatre. Rappelez-vous, nous avons dit que les éléments individuels devaient être égaux. C’est donc un bon moyen de vérifier que ce que nous avons fait est correct.

𝑥 est égal à moins trois. Et 𝑦 est égal à moins deux.

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