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Vidéo question :: Calcul de la portée d’un projectile Physique • Première année secondaire

Un projectile a une vitesse initiale de 15 m/s avec un angle de lancement de 28° au-dessus de l’horizontale. Quel est le déplacement horizontal du projectile de sa position de lancement à son atterrissage si son déplacement vertical depuis sa position de lancement est nul ?

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Transcription de la vidéo

Un projectile a une vitesse initiale de 15 mètres par seconde avec un angle de lancement de 28 degrés au-dessus de l’horizontale. Quel est le déplacement horizontal du projectile de sa position de lancement à son atterrissage si son déplacement vertical depuis sa position de lancement est nul ?

Commençons par dessiner un schéma de ce scénario. Nous avons un projectile lancé à une vitesse initiale que nous appellerons 𝑉. Le projectile est lancé à un angle au-dessus de l’horizontale que nous appellerons 𝜃. Pendant le mouvement du projectile, la seule force agissant sur le projectile est la gravité. Il y a donc une force agissant sur le projectile vers le bas qui a une grandeur de la masse du projectile, que nous appellerons 𝑚, multipliée par l’accélération due à la gravité, qui est 𝑔.

En raison de la force subie par le projectile dirigée vers le bas, sa trajectoire sera courbe. Et la question nous dit que lorsque le projectile atterrit, son déplacement vertical par rapport à sa position de lancement est nul. Cela signifie que la position finale du projectile est à la même hauteur que sa position initiale.

La question nous demande de déterminer le déplacement horizontal du projectile lorsqu’il atterrit par rapport à sa position de lancement. Ceci s’appelle aussi la portée du projectile, que nous nommerons aussi 𝑅 majuscule. Vu qu’aucune force n’agit sur le projectile dans la direction horizontale, à tout moment du mouvement son déplacement horizontal que nous appellerons 𝑆 𝑥 sera égal à son vecteur vitesse horizontal, que nous appellerons 𝑉 𝑥, multipliée par le temps, que nous appellerons 𝑡.

Lorsque le projectile atterrit, il a un déplacement horizontal de 𝑅 majuscule. Et cela se produit à un moment que nous appellerons 𝑇 majuscule. On peut donc écrire 𝑅 est égal à 𝑉 𝑥 multiplié par 𝑇 majuscule. Et 𝑇 majuscule s’appelle aussi le temps de vol du projectile. Donc, pour calculer la portée horizontale du projectile 𝑅 majuscule, nous devons calculer sa vitesse horizontale 𝑉 𝑥 et son temps de vol 𝑇 majuscule. Et nous allons noter cela ici, à gauche.

Commençons par calculer la vitesse horizontale du projectile. Nous pouvons faire cela en regardant un schéma de son vecteur vitesse initial et de l’angle qu’il fait avec l’horizontale. Nous pouvons voir qu’il a une composante horizontale, qui est son vecteur vitesse horizontal, que nous avons appelé 𝑉 𝑥. Et il a une composante verticale, qui est le vecteur vitesse vertical initial du projectile, que nous appellerons 𝑉 𝑦. Ceux-ci forment un triangle rectangle. On peut donc écrire que 𝑉 𝑥 est égal à 𝑉 multiplié par cos 𝜃 et 𝑉 𝑦 est égal à 𝑉 multiplié par sin 𝜃. Ces deux éléments seront importants pour nous, nous allons donc les garder en note ici, à gauche.

Nous avons donc une expression pour le vecteur vitesse horizontal du projectile. Tout ce qu’il nous reste à faire maintenant est de calculer son temps de vol. Le temps de vol d’un projectile qui atterrit à la même hauteur que celle à laquelle il a été lancé peut être calculé en utilisant la formule suivante. Le temps de vol, 𝑇 majuscule, est égal à deux fois le vecteur vitesse vertical initial 𝑉 𝑦 divisé par l’accélération due à la gravité 𝑔.

Insérons notre expression pour 𝑉 𝑦 dans cette équation. Ainsi, nous pouvons écrire 𝑇 est égal à deux multiplié par 𝑉 sin 𝜃 divisé par 𝑔. Nous avons donc maintenant une expression pour le temps de vol d’un projectile, dont nous garderons une note ici, à gauche.

Nous avons maintenant tout ce dont nous avons besoin pour calculer la portée horizontale du projectile. Nous allons donc commencer par notre expression pour la portée horizontale. 𝑅 est égal à 𝑉 𝑥 multiplié par 𝑇. Nous substituerons ensuite nos expressions pour 𝑉 𝑥 et 𝑇 dans cette équation. Nous allons donc écrire 𝑅 est égal à 𝑉 cos 𝜃 multiplié par deux 𝑉 sin 𝜃 divisé par 𝑔. Et comme nous pouvons le voir, cette partie à gauche est le vecteur vitesse horizontal et cette partie à droite est le temps de vol. Réorganisons cela pour faciliter le travail.

Tout d’abord, nous allons extraire les deux des parenthèses. Et nous ferons de même pour chaque 𝑉. Et ceux-ci deviennent 𝑉 au carré. Ensuite, nous pouvons sortir cos 𝜃 et sin 𝜃 des parenthèses. Et enfin, l’équation entière est divisée par 𝑔. Et c’est notre expression finale pour la portée horizontale du projectile.

Tout ce qui nous reste à faire est de trouver nos valeurs de 𝑉, 𝜃 et 𝑔. La question nous dit que le projectile a une vitesse initiale de 15 mètres par seconde. Donc, nous pouvons écrire 𝑉 est égal à 15 mètres par seconde. La question nous dit également que le projectile a été lancé à un angle de 28 degrés au-dessus de l’horizontale. Donc, nous pouvons écrire 𝜃 est égal à 28 degrés. Et enfin, 𝑔 est égal à 9,8 mètres par seconde au carré.

Maintenant, 𝑉 et 𝑔 sont tous deux en unités SI et le cos ou sin d’un angle n’a pas d’unités, nous n’avons donc pas besoin de les convertir avant de les insérer. Ensuite, nous pouvons écrire 𝑅 est égal à deux multiplié par 15 au carré multiplié par le cosinus de 28 degrés multiplié par le sinus de 28 degrés divisé par 9,8 mètres par seconde au carré, ce qui donne 𝑅 est égal à 19,0 mètres.

Ainsi, le déplacement horizontal du projectile depuis sa position de lancement jusqu’à son atterrissage si son déplacement vertical depuis sa position de lancement est nul est égal à 19,0 mètres.

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