Transcription de la vidéo
Calculez la somme des racines sixièmes de l’unité.
Lorsque nous pensons aux racines sixièmes de l’unité, ce sont les valeurs de 𝑧 telles que 𝑧 à la puissance six est égal à un. Et nous utilisons une formule pour trouver les racines 𝑛-ièmes de l’unité. Les coordonnées polaires seront cosinus de deux pi 𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sinus de deux pi 𝑘 sur 𝑛, où 𝑘 représente les valeurs entières comprises entre zéro et 𝑛 moins un.
Comme nous avons affaire aux racines sixièmes de l’unité, notre valeur 𝑛 est égale à six. Et nos racines sixièmes proviendront de valeurs 𝑘 comprises entre zéro et cinq. Lorsque 𝑘 est égal à zéro, nous avons cosinus de zéro plus 𝑖 sinus de zéro. Et nous savons que cela équivaut à un. Pour 𝑘 égale un, nous avons cosinus de deux pi sur six plus 𝑖 sinus de deux pi sur six. Nous pouvons simplifier cet argument en pi sur trois. Et à ce stade, laissons cette racine sous forme polaire et trouvons la racine de 𝑘 égale deux, qui est cosinus de quatre pi sur six plus 𝑖 sinus de quatre pi sur six. Cet argument se simplifie en deux pi sur trois. Encore une fois, nous allons laisser cela de côté.
Ensuite, nous avons le cosinus de trois pi sur trois plus 𝑖 sinus de trois pi sur trois. Le cosinus de pi plus 𝑖 sinus de pi donne moins un. Pour notre cinquième racine, nous avons le cosinus de huit pi sur six plus 𝑖 sinus de huit pi sur six. Nous savons que cet argument se simplifie en quatre pi sur trois, mais que quatre pi sur trois est en dehors de l’intervalle de l’argument principal.
Nous pouvons trouver une valeur équivalente dans l’intervalle en soustrayant deux pi. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons moins deux tiers de pi de sorte que nous avons cosinus de moins deux tiers de pi plus 𝑖 sinus de moins deux tiers de pi comme racine cinquième. Et nous allons passer à notre dernière sixième racine, où 𝑘 est égal à cinq, ce qui fait cosinus de 10 pi sur six plus 𝑖 sinus de 10 pi sur six. Nous pouvons simplifier l’argument en cinq pi sur trois. Cependant, il est en dehors de l’intervalle de l’argument principal, ce qui signifie que nous allons encore soustraire deux pi de cinq pi sur trois pour obtenir une nouvelle valeur de moins pi sur trois, et notre racine finale comme cosinus de moins pi sur trois plus 𝑖 sinus de moins pi sur trois.
Ici, nous avons les racines sixièmes de l’unité sous forme polaire. Pour calculer la somme de ces valeurs, réécrivons-les sous forme algébrique. Un reste le même. La deuxième racine devient un demi plus racine carrée de trois sur deux 𝑖. La troisième racine est moins un demi plus racine carrée de trois sur deux 𝑖. La quatrième racine est la même, moins un. La cinquième racine est moins un demi moins racine carrée de trois sur deux 𝑖, et la racine finale, un demi moins racine carrée de trois sur deux 𝑖.
Notre dernière étape sera la somme de ces valeurs. Lorsque nous ajoutons ces six termes, nous voyons que nous ajoutons un plus moins un, ce qui équivaut à zéro. Un demi plus moins un demi est égal à zéro. Encore une fois, moins un demi plus un demi est égal à zéro. À partir de là, nous avons la racine carrée de trois sur deux 𝑖 moins la racine carrée de trois sur deux 𝑖. Lorsque nous combinons ces valeurs, nous obtenons zéro. Et encore une fois, notre dernier terme est la racine carrée positive de trois sur deux 𝑖 moins la racine carrée de trois sur deux 𝑖, ce qui est égal à zéro. La somme des racines sixièmes de l’unité est égale à zéro.
Cependant, le processus de calcul des racines 𝑛-ièmes de l’unité, puis de leur addition, n’est pas quelque chose que vous feriez à maintes reprises. Et c’est parce que nous avons un principe qui nous dit que la somme des racines 𝑛-ièmes de l’unité, pour 𝑛 supérieur à un, est égal à zéro. D’après ce principe, on peut dire que la somme des racines sixièmes de l’unité sera égale à zéro. Et nous avons prouvé que cela est vrai par nos calculs.
