Transcription de la vidéo
Le figure illustre deux vecteurs, 𝚨 et 𝚩. Chacun des carreaux du quadrillage sur la figure a une longueur de côté de un. Calculez le produit vectoriel de 𝚨 croix 𝚩.
Cette question concerne les produits vectoriels. Et en particulier, on nous demande de calculer le produit vectoriel de 𝚨 croix 𝚩, où les vecteurs 𝚨 et 𝚩 nous sont donnés sous la forme de flèches dessinées sur un figure. Puisque cette question nous demande de trouver un produit vectoriel, commençons par rappeler la définition générale du produit vectoriel de deux vecteurs. Nous allons définir deux vecteurs généraux que nous appellerons 𝐂 et 𝐃. Supposons que ces deux vecteurs se trouvent dans le plan 𝑥𝑦. Alors, nous pouvons les écrire comme une composante 𝑥 avec un indice 𝑥 multiplié par 𝐢 chapeau plus une composante 𝑦 avec un indice 𝑦 multiplié par 𝐣 chapeau.
Rappelez-vous que 𝐢 chapeau est le vecteur unitaire dans la direction 𝑥 et 𝐣 chapeau est le vecteur unitaire dans la direction 𝑦. Ensuite, le produit vectoriel de 𝐂 croix 𝐃 est donné par la composante 𝑥 de 𝐶 multipliée par la composante 𝑦 de 𝐷 moins la composante 𝑦 de 𝐶 multipliée par la composante 𝑥 de 𝐷 le tout multiplié par 𝐤 chapeau, où 𝐤 chapeau est le vecteur unitaire dans la direction 𝑧. Ainsi, le produit vectoriel de 𝐂 croix 𝐃 produit un vecteur de cette amplitude et qui pointe selon la direction 𝑧. Puisque nous définissons nos vecteurs 𝐂 et 𝐃 comme étant dans le plan 𝑥𝑦, cela signifie que le produit vectoriel de deux vecteurs produit un vecteur perpendiculaire à la direction des deux vecteurs impliqués dans le produit.
Notre expression générale pour le produit vectoriel de deux vecteurs nous dit que si nous voulons calculer le produit vectoriel de 𝚨 croix 𝚩, alors nous allons devoir connaître les composantes des vecteurs 𝚨 et 𝚩. Nous supposerons que le plan sur la figure dans lequel les vecteurs sont dessinés est le plan 𝑥𝑦. Et puis nous pouvons nommer nos directions 𝑥 et 𝑦. La question nous dit que chacun des carreaux du quadrillage sur la figure a une longueur de côté de un. Cela signifie que pour trouver les composantes 𝑥 et 𝑦 de nos deux vecteurs, il suffit de compter le nombre de carreaux qui correspond à l’étendue de chaque vecteur dans les directions 𝑥 et 𝑦.
En commençant avec le vecteur 𝚨, nous allons partir de la queue du vecteur et compter les carreaux dans la direction 𝑥 jusqu’à ce que nous atteignions la coordonnée 𝑥 de la pointe du vecteur. Donc, dans ce cas, cela fait un, deux, trois carreaux. Si nous faisons la même chose dans la direction 𝑦, nous comptons un, deux, trois carreaux. Mais notez que la pointe du vecteur 𝚨 est déplacée vers le bas par rapport à la queue. En d’autres termes, nous avons compté les carreaux dans le sens négatif de la direction 𝑦, ce qui nous donne une valeur de moins trois carreaux. Puisque le vecteur 𝚨 s’étend sur trois unités dans le sens positif de la direction 𝑥 et moins trois unités dans la direction 𝑦, nous avons que la composante 𝑥 de 𝚨 est de trois et la composante 𝑦 est de moins trois. Nous pouvons donc écrire ce vecteur en fonction de ses composantes comme trois multiplié par 𝐢 chapeau moins trois multiplié par 𝐣 chapeau.
Nous allons maintenant faire la même chose pour le vecteur 𝚩. Si nous commençons à la queue du vecteur 𝚩, alors nous voyons que nous devons compter un, deux carreaux dans le sens positif de la direction 𝑥 pour atteindre la coordonnée 𝑥 de la pointe du vecteur. Et dans la direction 𝑦 à partir de la queue de 𝚩, nous comptons un, deux, trois, quatre carreaux dans le sens positif de la direction 𝑦 jusqu’à ce que nous atteignions la cordonnée 𝑦 de la pointe. Ainsi, la composante 𝑥 du vecteur 𝚩 est de deux et la composante 𝑦 est de quatre. Alors, nous avons que le vecteur 𝚩 en fonction de ses composantes est égal à deux 𝐢 chapeau plus quatre 𝐣 chapeau. Maintenant que nous avons nos deux vecteurs 𝚨 et 𝚩 exprimés en fonction de leurs composantes, nous sommes prêts à calculer le produit vectoriel de 𝚨 croix 𝚩.
En regardant notre expression générale pour le produit vectoriel de deux vecteurs, nous voyons que le premier terme est la composante 𝑥 du premier vecteur du produit multiplié par la composante 𝑦 du deuxième vecteur du produit. Dans notre cas, le premier vecteur de notre produit est le vecteur 𝚨 et le deuxième vecteur est le vecteur 𝚩. Nous avons donc besoin de la composante 𝑥 de 𝚨, qui vaut trois, multipliée par la composante 𝑦 de 𝚩, qui vaut quatre. Ensuite, nous soustrayons un deuxième terme de ce premier. Le deuxième terme est la composante 𝑦 du premier vecteur du produit multipliée par la composante 𝑥 du deuxième vecteur du produit. Donc, dans notre cas, il s’agit de la composante 𝑦 du vecteur 𝚨, qui vaut moins trois, multipliée par la composante 𝑥 du vecteur 𝚩, qui vaut deux. Ensuite, tout cela est multiplié par 𝐤 chapeau.
Notre dernière étape consiste à calculer la valeur de cette expression ici. Notre premier terme est de trois multiplié par quatre, ce qui nous donne 12. Et notre deuxième terme est de moins trois multiplié par deux, ce qui nous donne moins six. Ensuite, 12 moins moins six nous donne 18. Et donc notre réponse à la question est que le produit vectoriel de 𝚨 croix 𝚩 est égal à 18𝐤 chapeau qui, en d’autres mots, est un vecteur d’amplitude 18 et qui pointe dans la direction 𝑧. C’est donc la direction perpendiculaire au plan du figure.
