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Vidéo question :: Dériver une combinaison de fonctions trigonométriques en un point Mathématiques • Troisième année secondaire

Si 𝑦 = 8 cot 𝑥 + 5 sec 𝑥, déterminez 𝑑𝑦 / 𝑑𝑥 en 𝑥 = 𝜋 / 6.

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Transcription de la vidéo

Si 𝑦 égale huit cotangente 𝑥 plus cinq sécante 𝑥, déterminez 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑦 en 𝑥 égale pi sur six.

Nous cherchons la dérivée 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. Eh bien, en fait, nous cherchons la valeur de 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 en 𝑥 égale pi sur six. Mais pour trouver cela, nous devons d’abord trouver 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 en fonction de 𝑥. Alors dérivons. Nous cherchons la dérivée de huit cotangente 𝑥 plus cinq sécante 𝑥. Et nous utilisons le fait que la dérivée d’une somme de fonctions est la somme de leurs dérivées et le fait que la dérivée d’un nombre fois une fonction est ce nombre fois la dérivée de la fonction pour écrire cette dérivée 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 en termes des dérivées de cotangente 𝑥 et sécante 𝑥.

La partie principale de cette question est de trouver la dérivée de ces deux fonctions trigonométriques : cotangente et sécante. Nous avons tendance à utiliser six fonctions trigonométriques : sinus, cosinus, tangente, cosécante, sécante et cotangente. Bien sûr, nous pourrions mémoriser les six dérivées associées si nous le voulions, ce ne serait pas une mauvaise idée. Cela nous permettrait de dériver très rapidement toute fonction trigonométrique. Certes, si nous connaissions les dérivées de sécante et de cotangente, alors nous aurions presque terminé cette question.

Mais si vous avez oublié les dérivées de sécante et de cotangente ou si vous ne les avez jamais mémorisées, tout n’est pas perdu. L’essentiel est de se souvenir des deux premières dérivées : la dérivée de sinus 𝑥 par rapport à 𝑥 est cosinus 𝑥, et la dérivée de cosinus 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins sinus 𝑥. Nous pouvons tout trouver à partir de ces deux-là. Voyons comment nous pouvons trouver la dérivée de cotangente lorsque nous connaissons les dérivées de sinus et de cosinus.

D’accord, nous cherchons donc la dérivée de cotangente 𝑥 par rapport à 𝑥. Maintenant, qu’est-ce que cotangente 𝑥 ? Eh bien, vous savez peut-être que c’est un sur tangente 𝑥, et nous cherchons donc la dérivée de un sur tangente 𝑥 par rapport à 𝑥. Et comme tangente 𝑥 est sinus 𝑥 sur cosinus 𝑥, cotangente 𝑥 étant l’inverse de tangente, elle doit valoir cosinus 𝑥 sur sinus 𝑥. Maintenant, nous avons réussi à écrire cotangente 𝑥 en termes de sinus et de cosinus.

En fait, nous avons montré que cotangente 𝑥 est le quotient de cosinus 𝑥 et sinus 𝑥. Et pouvons donc dériver cela en utilisant la règle du quotient. Voici la règle du quotient, et nous pouvons maintenant l’appliquer en définissant 𝑓 de 𝑥 comme étant cosinus 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 comme étant sinus 𝑥. Maintenant, nous avons la dérivée que nous recherchons écrite en fonction de sinus 𝑥 cosinus 𝑥 et leurs dérivées.

Nous connaissons les dérivées de sinus 𝑥 et de cosinus 𝑥, nous pouvons donc les remplacer. La dérivée de cosinus 𝑥 est moins sinus 𝑥 et donc le premier terme du numérateur devient sinus 𝑥 fois moins sinus 𝑥 ou moins sinus 𝑥 au carré. Qu’en est-il du deuxième terme au numérateur ? Eh bien, la dérivée de sinus 𝑥 par rapport à 𝑥 est cosinus 𝑥. Donc, le deuxième terme devient cosinus 𝑥 fois cosinus 𝑥 ou cosinus 𝑥 au carré.

Nous ne pouvons pas faire grand-chose au dénominateur. Il restera comme étant sinus 𝑥 au carré, que nous pouvons éventuellement écrire comme sinus carré 𝑥. Mais notez que le numérateur est moins sinus carré 𝑥 moins cosinus carré 𝑥, c’est-à-dire moins sinus carré 𝑥 plus cosinus carré 𝑥. Et nous voyons que nous pouvons appliquer l’identité selon laquelle sinus carré 𝑥 plus cosinus carré 𝑥 égale un, ce qui signifie que notre numérateur vaut moins un. Donc, la dérivée de cotangente 𝑥 par rapport à 𝑥 vaut moins un sur sinus carré 𝑥.

Et en mettant le signe moins en dehors de la fraction, nous obtenons moins un sur sinus carré 𝑥. Nous pouvons appliquer ce résultat à la dérivée que nous voulions trouver. Le premier terme de 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est donc huit fois moins un sur sinus carré 𝑥. Avant de continuer, et de trouver la dérivée de sécante 𝑥 par rapport à 𝑥 et donc le deuxième terme de 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥, récapitulons d’abord comment nous avons trouvé la dérivée de cotangente 𝑥 par rapport à 𝑥.

Nous avons d’abord écrit cotangente 𝑥 en fonction de sinus 𝑥 et cosinus 𝑥. Et puis en voyant que nous avions un quotient, nous avons appliqué la règle du quotient en utilisant les dérivées de sinus 𝑥 et de cosinus 𝑥 par rapport à 𝑥, que nous avions mémorisées. Et simplifier en appliquant l’identité sinus carré 𝑥 plus cosinus carré 𝑥 égale un nous a donné l’expression moins un sur sinus carré 𝑥. Alors maintenant, suivons les mêmes étapes pour trouver la dérivée de sécante 𝑥 par rapport à 𝑥.

Nous pouvons écrire sécante 𝑥 en fonction de sinus 𝑥 et cosinus 𝑥. En fait, nous n’avons besoin que de cosinus 𝑥. Sécante 𝑥 vaut un sur cosinus 𝑥. Et nous dérivons cela en appliquant la règle du quotient avec 𝑓 de 𝑥 égale un et 𝑔 de 𝑥 égale cosinus 𝑥. La dérivée de un par rapport à 𝑥 vaut zéro, et donc le premier terme du numérateur disparaît. Nous nous retrouvons donc avec le deuxième terme : moins un fois la dérivée de cosinus 𝑥 par rapport à 𝑥. Et nous connaissons la dérivée de cosinus 𝑥 par rapport à 𝑥.

Il s’agit de moins sinus 𝑥. Donc, en combinant cela avec moins un, nous obtenons sinus 𝑥 au numérateur et bien sûr cosinus carré 𝑥 au dénominateur. Et maintenant que nous avons trouvé la dérivée de sécante 𝑥 par rapport à 𝑥, nous pouvons l’appliquer à notre problème. Le deuxième terme de 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 devient cinq sinus 𝑥 sur cosinus carré 𝑥. Nous pouvons maintenant faire de la place sur le tableau. Nous avons trouvé 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 en fonction de 𝑥. Nous devons maintenant l’évaluer lorsque 𝑥 vaut pi sur six.

Maintenant, nous remplaçons 𝑥 par pi sur six et nous obtenons une expression impliquant sinus pi sur six et cosinus pi sur six. Et comme pi sur six est un angle particulier, nous espérons connaître les valeurs de sinus pi sur six et cosinus pi sur six. Sinus pi sur six vaut un demi et cosinus pi sur six vaut racine de trois sur deux. Nous pouvons remplacer ces valeurs et simplifier. Par exemple, un demi au carré donne un quart. Et racine de trois sur deux au carré donne trois quarts. Moins un sur un quart vaut moins quatre, et un demi sur trois quarts vaut deux tiers.

Nous obtenons donc huit fois moins quatre plus cinq fois deux tiers. En simplifiant, nous constatons que la valeur de 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 en 𝑥 égale pi sur six vaut moins 86 sur trois. Ce problème nous a obligés à trouver les dérivées de cotangente et sécante. Nous avons constaté que nous pouvions déterminer quelles étaient ces dérivées en utilisant les dérivées connues de sinus et cosinus et la règle du quotient. La dérivée de cotangente 𝑥 par rapport à 𝑥 est [moins] un sur sinus carré 𝑥, qui peut également être écrit moins cosécante carré 𝑥. Et pour la dérivée de sécante 𝑥 par rapport à 𝑥 nous avons trouvé sinus 𝑥 sur cosinus carré 𝑥, qui peut également être écrit comme sécante 𝑥 fois tangente 𝑥.

Cependant, nous avons laissé ces dérivées en termes de sinus et cosinus pour faciliter l’évaluation en 𝑥 égal pi sur six. Nous n’avons pas besoin de mémoriser les dérivées des six fonctions trigonométriques, bien que ce pourrait être une bonne idée de le faire, tant que nous nous souvenons des dérivées de sinus et de cosinus. D’ailleurs, même les dérivées de sinus et de cosinus pourraient être retrouvées à partir d’éléments plus fondamentaux. Mais cela vaut vraiment la peine de mémoriser au moins les dérivées de sinus et de cosinus.

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