Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, notre sujet est le centre de masse des particules. Nous allons voir comment calculer le centre de masse d’une collection de particules avec différentes masses et positions dans le plan. Le concept de centre de masse est généralement utile lorsqu’on considère les effets de la gravité sur les objets, en particulier lorsqu’on veut les équilibrer. Le centre de masse d’un objet ou d’un ensemble d’objets est un point dans l’espace qui correspond à la position moyenne de toute la masse dans le système.
Trouver ce point est utile car, pour certains calculs, on peut traiter tout le système comme s’il s’agissait d’une seule masse située au centre de masse. En d’autres termes, on peut effectivement supposer que toute la masse dans un système est concentrée en ce point. On peut considérer le centre de masse d’un système comme son point d’équilibre. Considérez cet exemple dans lequel un plateau d’objets est soutenu d’une main. Effectivement, il est possible de traiter le plateau et l’ensemble des objets comme s’ils ne formaient qu’une seule masse, située au centre de masse. Le fait de soutenir le plateau par un point situé directement sous le centre de masse garantit que le plateur reste en équilibre.
Dans cette vidéo, l’objectif est de déterminer le centre de masse des ensembles de particules. Commençons par un exemple simple. Supposons qu’on a deux particules nommées A et B avec des masses 𝑀 A et 𝑀 B, respectivement. Notez que lorsqu’on parle de particule, on entend par là un objet de taille négligeable. Rappelons qu’on peut considérer le centre de masse comme étant la position moyenne de toute la masse dans le système. Donc, dans le cas, où notre système est constitué de deux particules que l’on considère d’abord de masses égales, trouver le centre de masse est assez intuitif. Il est simplement situé au milieu des deux particules.
Si on avait un repère sur notre diagramme, alors on pourrait trouver la coordonnée de la position du centre de masse en calculant la moyenne de la position des coordonnées de A et B. Dans ce cas, la particule A a une coordonnée 𝑥 de zéro et la particule B a une coordonnée 𝑥 de cinq. On peut donc trouver la coordonnée 𝑥 du centre de masse, qu’on écrit comme CDM 𝑥 en additionnant les coordonnées de position de A et B et en divisant par le nombre de particules. Cela nous donne cinq sur deux ou 2,5 car la coordonnée 𝑥 est le centre de masse.
Notez que dans cet exemple, nous avons dit que la masse de la particule A est égale à la masse de la particule B, alors que se passe-t-il si leurs masses ne sont pas égales ? Si l’une des particules a une masse plus grande - disons que la masse de la particule B est supérieure à celle de la particule A - alors on s’attend à ce que la position du centre de masse soit plus proche de la particule B que de la particule A. Et en fait, les grandes masses ont plus d’influence sur la position du centre de masse que les petites masses.
Donc, pour en tenir compte lorsqu’on calcule la position du centre de masse, on doit maintenant calculer ce qu’on appelle une moyenne pondérée des positions des particules. Ainsi, plutôt que de simplement additionner les coordonnées de position de chacune des particules et de les diviser par le nombre de particules, on multiplie la position de chaque particule par sa masse et on divise par la masse totale. Donc, dans ce cas, on prend la position de A, qui est zéro, on la multiplie par la masse de A, 𝑀 A, et on l’additionne à la position de B, qui est cinq, multipliée par la masse de B, 𝑀 B. On divise ensuite par la masse totale dans le système, qui, dans ce cas, est la masse de A plus la masse de B. On peut généraliser cette expression en écrivant 𝑥 A comme la position de A et 𝑥 B comme la position de B.
Maintenant, cette équation nous indique la coordonnée 𝑥 du centre de masse pour deux particules A et B, où les positions des deux particules sont 𝑥 A et 𝑥 B et leurs masses sont 𝑀 A et 𝑀 B. Cette équation peut être davantage généralisée pour traiter les systèmes de plus de deux particules. Ainsi, pour tout nombre de particules, la coordonnée 𝑥 du centre de masse est égale à la somme de la masse de chaque particule multipliée par sa position divisée par la somme de la masse de chaque particule, en d’autres termes, la masse totale dans le système.
On peut étendre cette idée à plus d’une dimension. Par exemple, si on a plusieurs particules réparties dans un espace bidimensionnel, alors la coordonnée 𝑥 de leur centre de masse sera définie par cette expression et la coordonnée 𝑦 de leur centre de masse sera définie par cette expression, qui est pareil, mais pour la coordonnée 𝑦 de chaque particule plutôt que la coordonnée 𝑥.
Donc, comme exemple rapide, donnons des valeurs de masse à ces particules et essayons de calculer le centre de masse. Supposons que la masse de la particule A est d’un kilogramme, la masse de la particule B est de deux kilogrammes, la masse de la particule C est de trois kilogrammes et la masse de la particule D est de quatre kilogrammes. Il convient de noter que toutes les masses doivent avoir les mêmes unités. Mais tant que les unités de masse sont identiques, les unités utilisées n’affecteront pas réellement la position du centre de masse. Puisque toutes ces masses sont en kilogrammes, on peut aussi bien oublier les unités de masse pour cet exemple. On peut donc dire que ces particules ont juste les masses un, deux, trois et quatre, respectivement.
Bien, on cherche donc les coordonnées du centre de masse de ces quatre particules, qu’on peut écrire comme ceci. Tout d’abord, utilisons cette formule pour calculer la coordonnée 𝑥 du centre de masse. Pour ce faire, nous devons d’abord trouver la somme du produit de la masse et de la coordonnée 𝑥 de chaque particule. Ainsi, la particule A a une masse de un et une coordonnée 𝑥 de un. Et leur produit est, bien sûr, un fois un. La particule B a une masse de deux et une coordonnée 𝑥 de 2,5. On additionne donc le produit de deux et 2,5. La particule C a une masse de trois et une coordonnée 𝑥 de six, ce qui nous donne trois fois six. Et la particule D a une masse de quatre et une coordonnée 𝑥 de trois, on peut donc additionner quatre fois trois. On divise ensuite le tout par la somme de toutes les masses, dans ce cas, un plus deux plus trois plus quatre.
Lorsqu’on évalue le numérateur de cette expression, un fois un égale un, deux fois 2,5 égale cinq, trois fois six égale 18 et quatre fois trois égale 12. La somme de toutes ces valeurs est 36. Et si on considère le dénominateur, un plus deux plus trois plus quatre égale 10. Donc, nous avons obtenu que la coordonnée 𝑥 du centre de masse est 36 sur 10 ou 3,6. Ensuite, nous pouvons utiliser cette formule pour trouver la coordonnée 𝑦 du centre de masse. Pour ce faire, nous devons d’abord additionner la masse de chaque particule multipliée par sa coordonnée 𝑦. La masse de la particule A est un et sa coordonnée 𝑦 est deux, ce qui nous donne un fois deux. La masse de la particule B est deux et sa coordonnée 𝑦 est quatre, ce qui nous donne deux fois quatre. La masse de la particule C est trois et sa coordonnée 𝑦 est trois, ce qui nous donne trois fois trois. Et la particule D a une masse de quatre et une coordonnée 𝑦 de un, ce qui nous donne quatre fois un.
Encore une fois, on divise le tout par la somme des masses des particules, que nous avons déjà calculées comme étant 10. Lorsqu’on évalue le numérateur, on a un fois deux, soit deux, deux fois quatre, soit huit, trois fois trois, soit neuf, et quatre fois un, ce qui est bien sûr quatre. Lorsqu’on additionne tous ces éléments, on obtient 23. Et donc la coordonnée 𝑦 du centre de masse est 23 sur 10 ou 2,3. Donc, en conclusion, le centre de masse de ces quatre particules est situé plus ou moins ici, aux coordonnées 3,6, 2,3. Bon, maintenant que nous avons parlé un peu de ce qu’est un centre de masse et que nous avons essayé de calculer les coordonnées du centre de masse d’un système de particules en utilisant ces deux équations, regardons quelques exemples de questions.
Trois particules sont placées sur une droite. La particule A de masse quatre kilogrammes est située à l’origine, la particule B de masse six kilogrammes est située au point neuf, six, et la particule C de masse 10 kilogrammes est située au point six, quatre. Déterminez les coordonnées du centre de masse des trois particules.
Une bonne façon de commencer cette question est de tracer les positions des trois particules sur un repère. Donc, la particule A est ici à l’origine, la particule B est ici à la coordonnée neuf, six, et la particule C est ici à la coordonnée six, quatre. Cette question nous demande de trouver le centre de masse des trois particules. Rappelons que le centre de masse est en fait la position moyenne de toute la masse dans un système. On peut calculer la position exacte du centre de masse d’un système de particules en trouvant la position moyenne de ces particules pondérées en fonction de leur masse.
Plus précisément, on peut calculer les coordonnées du centre de masse d’un système constitué de particules dans un espace bidimensionnel en utilisant ces deux équations. L’équation de gauche nous indique qu’on peut déterminer la coordonnée 𝑥 du centre de masse, CDM 𝑥, en additionnant le produit de la masse de chaque particule et sa coordonnée 𝑥 et diviser cette quantité par la somme de toutes les masses des particules. L’équation de droite nous montre qu’on peut calculer la coordonnée 𝑦 du centre de masse de la même manière, mais cette fois on additionne le produit de la masse et de la coordonnée 𝑦 de chaque particule. Utilisons d’abord l’équation de gauche pour déterminer la coordonnée 𝑥 du centre de masse des trois particules.
Le numérateur de cette expression nous dit qu’on doit prendre la masse de chaque particule multipliée par la coordonnée 𝑥 de chaque particule, puis additionner ces quantités. En d’autres termes, on multiplie la masse de la particule A, 𝑀 A, par la coordonnée 𝑥 de la particule A, 𝑥 A, puis on additionne la masse de la particule B multipliée par la coordonnée 𝑥 de la particule B, puis on additionne la masse de la particule C multipliée par la coordonnée 𝑥 de la particule C. Le dénominateur de cette expression est la somme de toutes les masses. Dans ce cas, cela signifie qu’on divise par la masse de la particule A plus la masse de la particule B plus la masse de la particule C.
Heureusement, toutes les informations dont on a besoin sont disponibles dans la question. La masse de la particule A est de quatre kilogrammes et elle est située à l’origine, ce qui signifie que la coordonnée 𝑥 est zéro. Ainsi, la masse de A multipliée par la coordonnée 𝑥 de A est quatre fois zéro. Ensuite, on sait que la masse de la particule B est de six kilogrammes et que sa coordonnée 𝑥 est de neuf. On ajoute donc six fois neuf. Enfin, la masse de la particule C est de 10 kilogrammes et sa coordonnée 𝑥 est de six. Donc, on additionne 10 fois six.
On divise ensuite le tout par la masse de A plus la masse de B plus la masse de C, qui est quatre kilogrammes plus six kilogrammes plus 10 kilogrammes. Lorsqu’on évalue le numérateur, on a quatre fois zéro, qui est égal à zéro, six fois neuf, égale 54, et 10 fois six, ce qui est égal à 60. 54 plus 60 au numérateur égale 114, et quatre plus six plus 10 au dénominateur égale 20, qu’on exprime sous forme décimale comme 5,7. La coordonnée 𝑥 du centre de masse de ces trois particules est donc de 5,7.
Maintenant, il ne reste plus qu’à trouver la coordonnée 𝑦 du centre de masse. Et on peut le faire en utilisant l’équation de la droite. Tout d’abord, on multiplie la masse de chaque particule par sa coordonnée 𝑦 et on les additionne. La particule A a une masse de quatre kilogrammes, et comme elle est située à l’origine, nous savons qu’elle a une coordonnée 𝑦 de zéro. La particule B a une masse de six et une coordonnée 𝑦 de six. Et la particule C a une masse de 10 et une coordonnée 𝑦 de quatre. On divise ensuite tout cela par la somme des masses de toutes les particules, que nous avions déjà calculées comme étant 20. Maintenant, lorsqu’on évalue le numérateur, on a quatre fois zéro, qui est égal à zéro, six fois six, qui est égal à 36 et 10 fois quatre, qui est égal à 40. La somme des valeurs du numérateur nous donne 76, et on divise cela par 20, qui en forme décimale est égal à 3,8.
Donc, si la coordonnée 𝑥 est 5,7 et la coordonnée 𝑦 est 3,8, alors les coordonnées du centre de masse sont 5,7, 3,8. Et voici la réponse finale de notre question.
Ensuite, considérons un exemple dans lequel on ne nous donne pas les coordonnées exactes des particules dans le système.
La figure représente un système de masses ponctuelles placées sur les sommets d’un carré dont le coté mesure six unités. Les détails des masses à chaque point sont dans le tableau ci-dessous. Déterminez les coordonnées du centre de gravité du système.
Donc, lorsqu’on examine la figure, on peut voir qu’on a en effet quatre masses ponctuelles, qu’on peut également appeler des particules, positionnées aux coins ou aux sommets d’un carré. Le tableau nous montre que la masse ponctuelle au point A a une masse de 75 kilogrammes, la masse au point B a une masse de 29 kilogrammes, celle au point C a une masse de 71 kilogrammes, et celle au point D a une masse de 85 kilogrammes. La question nous demande de trouver le centre de gravité du système, ce qui revient à trouver le centre de masse. Rappelons que le centre de masse est en fait la position moyenne de toute la masse dans le système et que les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du centre de masse sont définies par cette formule et cette formule, respectivement.
Commençons donc par utiliser la formule de gauche pour trouver la coordonnée 𝑥 du centre de masse. Si on examine le numérateur à droite de cette expression, on peut voir qu’on doit trouver la somme de chaque masse multipliée par sa coordonnée 𝑥, donc on peut réécrire le numérateur comme la masse au point A multipliée par la coordonnée 𝑥 du point A plus la masse au point B multipliée par la coordonnée 𝑥 du point B et ainsi de suite pour chacun des quatre points. Le dénominateur de cette expression est la somme de toutes les masses de notre système. On peut donc réécrire le dénominateur comme la masse au point A plus la masse au point B et ainsi de suite. Donc, tout ce qu’on a à faire maintenant est de substituer les valeurs des masses et positions de toutes les masses ponctuelles.
Maintenant, on a les masses de chacune de ces masses ponctuelles dans le tableau. Cependant, on ne nous a pas explicitement donné les coordonnées 𝑥 de tous ces points. Afin de déterminer les coordonnées 𝑥, nous devons utiliser le fait que les masses ponctuelles sont positionnées sur les sommets d’un carré dont le côté mesure six unités. Cela signifie que toutes ces longueurs sur la figure sont de six unités. On peut voir que le point A est l’origine. Donc, ses coordonnées sont zéro, zéro. Puisque le point B est six unités au-dessus de l’origine, nous savons que ses coordonnées doivent être zéro, six. Le point C est de six unités à droite du point B, en d’autres termes, de six unités dans la direction 𝑥. Ses coordonnées doivent donc être six, six. Et enfin, on peut voir que le point D est de six unités dans la direction 𝑥 à partir de l’origine, il doit donc avoir les coordonnées six, zéro.
Maintenant que nous avons les coordonnées de tous les points et de leurs masses, nous pouvons substituer les coordonnées 𝑥 et les masses dans cette expression pour trouver la coordonnée 𝑥 du centre de masse. Donc, tout d’abord, on peut voir que la masse de A est de 75 kilogrammes et qu’elle a une coordonnée 𝑥 de zéro. Donc, cela nous donne 75 fois zéro. Ensuite, on a la masse de B multipliée par la coordonnée 𝑥 de B, qui est 29 fois zéro, la masse au point C multipliée par la coordonnée 𝑥 de C est 71 fois six, et la masse de D fois la coordonnée 𝑥 de D est 85 fois six.
On divise ensuite tout cela par la somme de toutes les masses. Lorsqu’on évalue le numérateur, on peut voir que ce terme et ce terme sont tous deux un nombre multiplié par zéro. Donc, ces deux termes sont simplement zéro, ce qui nous donne 71 fois six plus 85 fois six. Et lorsqu’on calcule cela sur une calculatrice on a 936. La somme du dénominateur est égale à 260. Et cette fraction devient 18 sur cinq. Et cette fraction est la coordonnée 𝑥 du centre de gravité du système. Maintenant, il ne reste plus qu’à utiliser cette formule pour trouver la coordonnée 𝑦 du centre de masse. On fait exactement la même chose, mais cette fois on utilise la coordonnée 𝑦 de chaque point plutôt que la coordonnée 𝑥.
On a donc la masse de A multipliée par la coordonnée 𝑦 de A plus la masse de B multipliée par la coordonnée 𝑦 de B plus la masse de C multipliée par la coordonnée 𝑦 de C et la masse de D multipliée par la coordonnée 𝑦 de D. On divise ensuite tout cela par la somme de toutes les masses des particules, que nous avions précédemment calculée comme étant 260. Encore une fois, au numérateur, deux des termes sont zéro. Et lorsqu’on évalue le reste de l’expression, on obtient 600 sur 260. On peut simplifier cette fraction et obtenir 30 sur 13. Et ce résultat est la coordonnée 𝑦 du centre de masse. Ainsi, lorsqu’on met les coordonnées 𝑥 et 𝑦 ensemble, on a les coordonnées du centre de gravité ou du centre de masse du système qui sont 18 sur cinq, 30 sur 13.
Bon, alors maintenant que nous avons résolu quelques problèmes, recapitulons les points clés que nous avons examinés dans cette vidéo. Nous avons vu que le centre de masse d’un système de particules est la position moyenne des particules pondérées en fonction de leur masse. On peut calculer les coordonnées spatiales du centre de masse indépendamment l’un de l’autre. Pour un système bidimensionnel, il s’agit des coordonnées 𝑥 et 𝑦. Et on peut faire cela en utilisant ces deux formules. La coordonnée 𝑥 du centre de masse, notée CDM 𝑥, est égale à la somme de la masse de chaque particule multipliée par sa coordonnée 𝑥 divisée par la somme des masses de toutes les particules. De même, la coordonnée 𝑦 du centre de masse, notée CDM 𝑦, est égale à la somme de la masse de chaque particule multipliée par sa coordonnée 𝑦 divisée par la somme des masses des particules.