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Vidéo question :: Déterminer l’intégrale définie d’une fonction trigonométrique réciproque Mathématiques • Troisième année secondaire

Calculez ∫_ (0) ^ (1) tan⁻¹ (𝑥) d𝑥.

08:50

Transcription de la vidéo

Calculez l’intégrale définie de zéro à un de la tangente réciproque de 𝑥 par rapport à 𝑥.

On nous donne une intégrale définie que nous devons calculer. Notre terme à intégrer est la tangente réciproque de 𝑥 par rapport à 𝑥. La première chose que nous devons toujours vérifier lorsque nous calculons une intégrale définie est de vérifier que notre terme à intégrer est continu sur les bornes de l’intégration. Dans ce cas, nous savons que la tangente réciproque de 𝑥 est continue pour toutes les valeurs réelles de 𝑥. Nous n’avons pas à nous préoccuper de cela.

Mais nous avons tout de même un problème. Nous ne savons pas comment intégrer la tangente réciproque de 𝑥. Nous savons uniquement la dériver par rapport à 𝑥. Nous connaissons quelques méthodes différentes pour essayer d’intégrer des fonctions. Par exemple, nous pourrions être tentés d’utiliser l’intégration par substitution. La seule substitution qui semble logique serait d’établir 𝑥 égal à la tangente de 𝜃. Mais si nous faisions cela, alors nous verrions que d𝑥 sur d𝜃 est la dérivée de tangente 𝜃 par rapport à 𝜃. Et nous savons que c’est la sécante au carré de 𝜃.

Et si nous devions ensuite utiliser notre substitution juste dans l’intégrale définie, nous obtiendrions la tangente réciproque de tangente 𝜃 fois sécante au carré 𝜃 par rapport à 𝜃. Et bien sûr, la tangente réciproque de tangente 𝜃 est juste 𝜃, il faudrait donc évaluer l’intégrale de 𝜃 fois la sécante au carré de 𝜃 par rapport à 𝜃. Et c’est une intégrale très difficile à évaluer. Nous sommes peut-être capables de résoudre ce problème. Cependant, il serait très facile de faire une erreur. Au lieu de cela, nous allons essayer une autre méthode. Nous allons essayer d’utiliser l’intégration par parties.

Tout d’abord, nous rappelons que l’intégration par parties nous dit que l’intégrale de 𝑢 multipliée par 𝑣 prime par rapport à 𝑥 est égale à 𝑢 fois 𝑣 moins l’intégrale de 𝑣 fois 𝑢 prime par rapport à 𝑥. Cela nous donne donc une méthode d’intégration du produit de 𝑢 et 𝑣 prime par rapport à 𝑥. Cependant, nous pouvons immédiatement voir deux problèmes. Premièrement, notre terme à intégrer n’est pas le produit de deux fonctions. C’est juste la tangente réciproque de 𝑥. Deuxièmement, cela nous donne une intégrale indéfinie. Nous voulons calculer une intégrale définie. Nous ne pouvons donc pas utiliser l’intégration par parties pour résoudre ce problème. Cependant, nous pouvons réellement surmonter ces deux obstacles en utilisant ce que nous savons de l’intégration.

Commençons par le premier problème, c’est-à-dire que notre terme à intégrer n’est pas le produit de deux fonctions. Eh bien, nous pouvons résoudre ce problème en écrivant simplement cette intégrale comme l’intégrale définie de zéro à un la tangente réciproque de 𝑥 multiplié par un par rapport à 𝑥. Maintenant, notre terme à intégrer est le produit de deux fonctions.

Mais nous faisons toujours face au deuxième problème. Nous calculons toujours une intégrale définie. En fait, nous pouvons contourner ce problème en utilisant ce que nous savons des intégrales définies. Tout d’abord, nous utiliserons l’intégration par parties uniquement sur l’intégrale indéfinie. Ensuite, si la méthode d’intégration par parties fonctionne, nous obtiendrons une fonction, 𝐹 majuscule de 𝑥, plus une constante d’intégration 𝐶. L’important ici est que 𝐹 majuscule de 𝑥 soit une primitive de la tangente réciproque de 𝑥. Mais alors, si nous avons une primitive de notre fonction, nous pouvons calculer son intégrale définie. L’intégrale définie de la tangente réciproque de 𝑥 par rapport à 𝑥 serait 𝐹 majuscule de 𝑥 évaluée aux bornes de l’intégration, zéro et un.

Nous sommes maintenant presque prêts à évaluer cette intégrale en utilisant l’intégration par parties. La dernière chose que nous devons faire est de choisir nos fonctions 𝑢 et 𝑣 prime. Il y a plusieurs façons de faire. Par exemple, nous pourrions nous rappeler de la méthode LIATE. Comme nous n’avons pas de fonctions logarithmiques, nous devons définir notre fonction 𝑢 comme étant une fonction trigonométrique réciproque, la tangente réciproque de 𝑥. Cependant, dans ce cas, ce n’est pas nécessaire. Nous avons déjà dit ne pas savoir comment intégrer la tangente réciproque de 𝑥. Cela signifie que nous devons choisir notre fonction 𝑣 prime comme étant un.

Nous avons donc défini 𝑢 pour être la tangente réciproque de 𝑥 et 𝑣 prime égal à un. Nous devons maintenant trouver des expressions pour 𝑢 prime et 𝑣. Commençons par 𝑢 prime. C’est la dérivée de la tangente réciproque de 𝑥 par rapport à 𝑥. Il s’agit d’un résultat standard pour la dérivée d’une fonction trigonométrique réciproque que nous devrions mémoriser. La dérivée est égale à un divisé par un plus 𝑥 au carré. Ensuite, pour trouver 𝑣, nous avons juste besoin d’une primitive de un. Nous savons que cela équivaut à 𝑥. Nous pouvons maintenant utiliser nos expressions pour 𝑢, 𝑣, 𝑢 prime et 𝑣 prime pour évaluer notre intégration par parties.

Nous obtenons la tangente réciproque de 𝑥 multiplié par 𝑥 moins l’intégrale de 𝑥 fois un sur un plus 𝑥 au carré par rapport à 𝑥. La première chose que nous allons faire est de simplifier notre terme à intégrer pour avoir 𝑥 divisé par un plus 𝑥 au carré. Donc, pour trouver une primitive, nous devons maintenant intégrer 𝑥 divisé par un plus 𝑥 au carré par rapport à 𝑥. Le moyen le plus simple d’évaluer cette intégrale est de remarquer un motif. Si nous définissons la fonction 𝐹 de 𝑥 comme étant la fonction au dénominateur, c’est-à-dire un plus 𝑥 au carré.

Et si nous calculons 𝐹 prime de 𝑥, nous obtenons deux 𝑥. Nous voyons qu’il s’agit d’un multiple scalaire du numérateur. Et c’est sous une forme que nous devrions reconnaître. Nous savons que l’intégrale de 𝐹 prime de 𝑥 divisée par 𝐹 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale au logarithme népérien de la valeur absolue de 𝐹 de 𝑥 plus une constante d’intégration 𝐶. Ici, nous n’avons pas tout à fait 𝐹 prime de 𝑥 au numérateur. Nous allons donc multiplier notre terme à intégrer par deux, puis multiplier le tout par un demi.

Maintenant, nous avons l’intégrale de 𝐹 prime de 𝑥 divisée par 𝐹 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous pouvons donc utiliser cette formule. Donc, en utilisant cela, nous avons maintenant 𝑥 fois la tangente réciproque de 𝑥 moins un demi multiplié par le logarithme népérien de la valeur absolue de un plus 𝑥 au carré plus une constante d’intégration 𝐶. Mais rappelez-vous, nous faisons cela pour trouver une primitive que nous utiliserons ensuite dans une intégrale définie. Donc, en réalité, nous n’avons pas besoin de constante d’intégration.

Nous pouvons donc supprimer ceci. Et désormais, nous avons trouvé une primitive de la tangente réciproque de 𝑥. Maintenant que nous avons trouvé notre primitive, nous sommes enfin prêts à évaluer l’intégrale de zéro à un de la tangente réciproque de 𝑥 par rapport à 𝑥. Elle est égale à 𝑥 fois la tangente réciproque de 𝑥 moins la moitié du logarithme népérien de la valeur absolue de un plus 𝑥 au carré évalué aux bornes de l’intégration 𝑥 est égal à zéro et 𝑥 est égal à un.

En évaluant cela aux bornes de l’intégration zéro et un, nous obtenons un fois la tangente réciproque d’un moins un demi multiplié par le logarithme népérien de la valeur absolue de un plus un carré moins zéro fois la tangente réciproque de zéro moins un demi multiplié par le logarithme népérien de la valeur absolue de un plus zéro au carré. Et maintenant, nous pouvons commencer à évaluer.

Premièrement, notre premier terme, la tangente réciproque de un, vaut 𝜋 sur quatre. Et 𝜋 sur quatre multiplié par un est égal à 𝜋 sur quatre. Donc, notre premier terme est juste 𝜋 sur quatre. En ce qui concerne le deuxième terme, un plus un carré vaut deux. Et la valeur absolue de deux est juste égale à deux. Notre deuxième terme se simplifie donc pour nous donner moins le logarithme népérien de deux le tout divisé par deux. Notre troisième terme a un facteur nul. Et notre quatrième terme a un facteur du logarithme népérien de la valeur absolue de un plus zéro au carré. Mais cela équivaut au logarithme népérien de un, que nous savons égal à zéro. Donc, cela contient également un facteur zéro. Par conséquent, il est égal à zéro.

Notre réponse a donc été simplifiée pour nous donner 𝜋 sur quatre moins le logarithme népérien de deux divisé par deux. Par conséquent, en utilisant l’intégration par parties et ce que nous savons sur les intégrales définies, nous avons pu montrer que l’intégrale de zéro à un de la tangente réciproque de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝜋 sur quatre moins le logarithme népérien de deux divisé par deux.

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