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La fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 subit une dilatation horizontale de facteur deux et une dilatation verticale de facteur deux. Écrivez, en fonction de 𝑓 de 𝑥, l’équation de la fonction transformée.
Dans cette question, on nous donne une fonction 𝑓 de 𝑥. Et on nous dit qu’elle subit une dilatation horizontale de facteur deux. On nous dit également qu’elle subit de nouveau une dilatation, verticale de facteur deux. Nous devons trouver l’équation de la fonction transformée en fonction de notre fonction d’origine 𝑓 de 𝑥. Pour répondre à cette question, nous devons d’abord nous rappeler exactement comment nous représentons les dilatations
horizontales et verticales en termes de fonctions. Commençons par considérer la courbe de la fonction 𝑦 égale 𝑔 de 𝑥.
Si nous multiplions tout 𝑔 de 𝑥 par une constante que nous appelons 𝑏, alors parce que 𝑔 de 𝑥 correspond aux valeurs de sortie de notre fonction ou coordonnées 𝑦 de notre fonction, nous multiplions toutes nos coordonnées 𝑦 par 𝑏. Et rappelez-vous, les coordonnées 𝑦 sont l’axe vertical, donc nous effectuons une dilatation dans la direction verticale d’un facteur 𝑏. Et nous pouvons faire quelque chose de très similaire pour les dilatations horizontales.
Pour dilater une fonction dans la direction horizontale, nous allons devoir multiplier toutes nos valeurs d’entrée de 𝑥. Cependant, nous devons faire très attention à cela car nous n’effectuons pas de dilatations de facteur 𝑏 ici. Pour voir cela, si nous avons 𝑔 de un égale 10, alors si nous multiplions toutes nos valeurs d’entrée d’un facteur deux pour obtenir la même valeur de sortie de 10, nous devons maintenant entrer une valeur de 𝑥 égale à 0,5 car, bien sûr, deux fois 0,5 est égal à un. Donc, nous n’avons pas doublé nos valeurs d’entrée ; nous avons réduit de moitié nos valeurs d’entrée.
Et une autre façon de le dire est que nous avons effectué une dilatation de notre fonction horizontalement d’un facteur un sur 𝑏. Et bien sûr, nous savons aussi que nous pouvons représenter des translations horizontales et verticales. Cependant, nous n’en avons pas besoin pour répondre à cette question, car nous n’effectuons que des dilatations dans les directions horizontale et verticale. Utilisons maintenant cela pour répondre à notre question.
Tout d’abord, nous devons commencer par 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. La première chose que la question nous demande de faire est de dilater cette fonction d’un facteur deux. Et nous avons vu que pour que notre fonction subisse une dilatation horizontale d’un facteur un sur 𝑏, nous devons multiplier toutes nos valeurs d’entrée par 𝑏. Donc, si nous voulons que notre fonction subisse une dilatation horizontale de rapport deux, alors nous avons besoin que un sur 𝑏 soit égal à deux. Et en multipliant cette équation par 𝑏 et en divisant par deux, nous voyons que cela nous donne 𝑏 égal à un demi. Par conséquent, pour dilater la fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 d’un facteur deux dans la direction horizontale, nous devons multiplier toutes nos valeurs d’entrée par un demi. Nous obtenons 𝑦 égale 𝑓 de un demi de 𝑥.
Ensuite, la question nous demande de transformer notre fonction dans la direction verticale d’un facteur deux également. Et nous voyons que pour dilater une fonction d’un facteur 𝑏 dans la direction verticale, nous multiplions simplement toutes nos valeurs de sortie par 𝑏. Donc, tout ce que nous devons faire est de multiplier la fonction que nous avions auparavant par deux. Nous obtenons 𝑦 égale deux fois 𝑓 de un demi de 𝑥. Et nous pourrions laisser notre réponse comme ceci. Cependant, nous allons écrire la moitié de 𝑥 comme 𝑥 sur deux. Et cela nous donne notre réponse finale.
Par conséquent, nous avons pu montrer que si la fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 subit une dilatation d’un facteur deux dans la direction horizontale et d’un facteur deux dans la direction verticale, alors la fonction transformée peut être représentée par 𝑦 égale deux fois 𝑓 évaluée en 𝑥 sur deux.