Transcription de la vidéo
Une particule se déplace en ligne droite de telle sorte que son déplacement 𝑠 après 𝑡 secondes est donné par 𝑠 est égal à trois 𝑡 au cube moins 54𝑡 au carré plus 38𝑡 mètres, où 𝑡 est supérieur ou égal à zéro. Déterminez l’intervalle de temps pendant lequel la vitesse de la particule croît.
Cette question nous demande sur la vitesse de la particule. Nous connaissons le déplacement de cette particule 𝑠 en fonction du temps 𝑡. Donc, tout ce que nous avons à faire pour trouver la vitesse de la particule, c’est de dériver ceci par rapport au temps. Très bien, dérivons.
Nous appellerons la vitesse 𝑣, et elle est la dérivée par rapport au temps 𝑡 du déplacement 𝑠. Et 𝑠 est égale à trois 𝑡 au cube moins 54𝑡 au carré plus 38𝑡. Donc, en dérivant terme par terme grâce au fait que la dérivée 𝑑 sur 𝑑𝑡 de 𝑎 fois 𝑡 puissance 𝑛 est 𝑎 fois 𝑛 fois 𝑡 puissance 𝑛 moins un, nous obtenons que la vitesse est de 9𝑡 au carré moins 108𝑡 plus 38. Maintenant que nous avons la vitesse, nous pouvons commencer à considérer le problème qui nous a été donné pour déterminer l’intervalle de temps pendant lequel cette vitesse augmente.
Une façon de faire serait d’esquisser le graphique de 9𝑡 au carré moins 108𝑡 plus 38, il s’agit à nouveau 𝑡. J’espère que vous savez comment faire. Mais il existe une autre façon de résoudre ce problème. La vitesse de la particule augmente si le taux de variation de la vitesse par rapport au temps - c’est-à-dire 𝑑𝑣 sur 𝑑𝑡 - est supérieure à zéro. Plus généralement, une fonction 𝑓 est croissante lorsque sa dérivée 𝑓 prime de 𝑥 est supérieure à zéro.
Alors trouvons 𝑑𝑣 sur 𝑑𝑡 en dérivant à nouveau. Encore une fois, nous dérivons terme par terme en utilisant la règle de dérivation d’une puissance pour obtenir 18𝑡 moins 108. Alors, quand 𝑑𝑣 sur 𝑑𝑡 est-elle supérieure à zéro ? Eh bien, 𝑑𝑣 sur 𝑑𝑡 équivaut à 18𝑡 moins 108. Donc, c’est lorsque 18𝑡 moins 108 est supérieur à zéro, c’est-à-dire lorsque 18𝑡 est supérieur à 108, ce qui équivaut en réalité à lorsque 𝑡 est supérieur à six.
Nous écrirons ceci en termes d’intervalle, il s’agit de l’intervalle ouvert de six à l’infini, ne contenant pas les extrémités, nous utilisons donc des crochets ouverts. Il s’agit de l’intervalle de temps pendant lequel la vitesse de la particule dont le déplacement est donné par 𝑠 est égale à trois 𝑡 au cube moins 54 𝑡 au carré plus 38𝑡 mètres, où 𝑡 est supérieur à zéro, augmente.
Cela correspond à l’endroit où la dérivée de la vitesse par rapport au temps est supérieure à zéro. Et bien sûr, nous appelons habituellement la dérivée d’une vitesse par rapport au temps sous un autre nom. C’est l’accélération de la particule. Et donc une autre façon de formuler cette question serait de demander l’intervalle de temps où l’accélération de la particule est supérieure à zéro.