Transcription de la vidéo
Déterminez l’ensemble image de la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale huit 𝑥 si 𝑥 appartient à l’intervalle fermé à gauche et ouvert à droite de zéro à un et 𝑓 de 𝑥 égale huit si 𝑥 appartient à l’intervalle fermé de un à sept et 𝑓 de 𝑥 est égal à 15 moins 𝑥 si 𝑥 est dans l’intervalle ouvert à gauche, fermé à droite de sept à 15.
Dans cette question, on nous demande de trouver l’ensemble image d’une fonction définie par morceaux. Et nous pouvons commencer par rappeler que l’ensemble image de toute fonction est l’ensemble de toutes les valeurs de sortie de la fonction étant donné son ensemble de définition ou l’ensemble des valeurs d’entrée. Et il existe différentes façons de déterminer l’ensemble image d’une fonction. Puisque nous avons une fonction définie par morceaux où chacune des trois sous-fonctions est linéaire, nous le ferons en traçant sa représentation graphique.
Avant de tracer notre graphique, déterminons l'ensemble de définition de cette fonction. C’est l’ensemble des valeurs d’entrée possibles pour notre fonction. Pour ce faire, nous savons que nous avons une fonction définie par morceaux. Et l'ensemble de définition de toute fonction définie par morceaux est l’union de ses sous-ensembles de définition. En d’autres termes, nous ne pouvons entrer que des valeurs de 𝑥 dans notre fonction qui se trouvent dans ces trois ensembles. Nous allons donc commencer par tracer nos axes de coordonnées, où sur l’axe des 𝑥, nous devons marquer les extrémités de nos sous-ensembles de définition. C’est zéro, un, sept et 15. Et il est à noter que nous pourrions avoir besoin d’étendre cela pour inclure des valeurs négatives de 𝑦. Cependant, nous verrons dans ce cas que ce n’est pas nécessaire.
Nous devons maintenant représenter graphiquement chaque sous-fonction séparément sur son sous-ensemble de définition. Commençons par la première sous-fonction définie sur l’intervalle fermé à. Gauche, ouvert à droite de zéro à un. Nous pouvons voir que cette fonction est la fonction linéaire huit 𝑥. Puisqu’il s’agit d’une fonction linéaire définie sur un intervalle, il s’agira d’un segment. Et le moyen le plus simple de tracer un segment est de trouver les coordonnées de ses deux extrémités. Pour trouver les extrémités de ce segment, nous devons substituer les extrémités de notre sous-ensemble de définition à la sous-fonction.
Commençons par substituer 𝑥 égal zéro dans notre sous-fonction. Nous obtenons huit multiplié par zéro, ce qui est égal à zéro. Puisque zéro est dans le sous-ensemble de définition de cette fonction, cela nous dit que 𝑓 calculée en zéro est égale à zéro, ce qui nous indique que le graphique de notre fonction passe par l’origine. Nous allons marquer cela avec un point solide. Nous voulons maintenant regarder l’autre extrémité de notre sous-ensemble de définition. Cependant, nous devons noter que ce côté de notre intervalle est ouvert. Cela signifie que nous ne pouvons pas calculer 𝑓 en un en le substituant à la sous-fonction huit 𝑥. Cependant, nous pouvons l’utiliser pour déterminer l’autre extrémité de notre sous-fonction.
En substituant 𝑥 égal un dans la sous-fonction huit 𝑥, nous obtenons huit multiplié par un, ce qui est égal à huit. Il s’agit alors de la coordonnée 𝑦 de l’extrémité de notre première sous-fonction. L’extrémité de notre sous-fonction sera un, huit. Nous allons donc marquer huit sur notre axe des 𝑦. Puis, au point avec les coordonnées un, huit, nous ajoutons un cercle creux. Ensuite, si nous relions ces deux points avec un segment, nous avons tracé la droite d’équation 𝑦 est égale à huit 𝑥, où nos valeurs de 𝑥 doivent être dans l’intervalle fermé à gauche, ouvert à droite de zéro à un. Cela signifie que nous avons représenté avec succès notre première sous-fonction.
Libérons de l’espace, puis faisons de même pour représenter graphiquement notre deuxième sous-fonction. Cette fois, nos valeurs de 𝑥 se situeront dans l’intervalle fermé de un à sept. Mais cette fois, nous pouvons voir que les valeurs de sortie de notre fonction sont une valeur constante de huit. Cela signifie que lorsque nous traçons le graphique de cette sous-fonction, les coordonnées 𝑦 de chaque point de notre graphique seront huit. Encore une fois, nous pouvons trouver les extrémités de cette sous-fonction. Premièrement, lorsque 𝑥 égale sept, nous savons que 𝑦 sera égal à huit. Donc, notre première extrémité a les coordonnées sept, huit. Nous dessinons cela comme un point solide parce que notre intervalle est fermé de ce côté. Et nous avons un résultat très similaire lorsque 𝑥 est égal à un. Notre coordonnée 𝑦 sera égale à huit, et cet intervalle est fermé. Nous dessinons donc un point solide. Nous les connectons ensuite avec une droite horizontale pour tracer notre deuxième sous-fonction.
Et il convient de noter que nous avons quelque chose d’intéressant en le point un, huit. Dans notre première sous-fonction, nous avions un point creux en ce point, mais dans notre deuxième fonction, nous avions un point solide en ce point. Puisqu’il y a un point solide en ce point, nous savons que 𝑓 calculée en un est égale à huit. Donc, ce point est inclus dans notre graphique. Nous devons donc dessiner cela dans le cadre de notre graphique. En d’autres termes, le point solide recouvre le point creux.
Passons maintenant à notre troisième sous-fonction. Cette fois, nos valeurs de 𝑥 vont être dans l’intervalle ouvert à gauche, fermé à droite de sept à 15. Et encore une fois, nous avons une fonction linéaire. Nous allons donc le faire en trouvant les extrémités de cette sous-fonction. Tout d’abord, commençons par substituer 𝑥 égal sept dans notre sous-fonction. Nous obtenons que la coordonnée 𝑦 correspondante est 15 moins sept, ce qui est égal à huit d’après notre calcul. Par conséquent, la première extrémité de cette sous-fonction a les coordonnées sept, huit. Nous devrions tracer un point creux à ce stade de notre graphique. Cependant, nous pouvons voir que le graphique de notre fonction passe déjà par ce point, nous n’avons donc pas besoin de tracer cette partie sur notre graphique. Nous devons juste considérer que c’est la première extrémité de cette sous-fonction.
Trouvons maintenant la deuxième extrémité de cette sous-fonction. Nous substituons 𝑥 égal 15 dans notre sous-fonction pour obtenir la coordonnée 𝑦 correspondante qui est 15 moins 15, ce qui est égal à zéro d’après notre calcul. Et rappelez-vous, notre sous-ensemble de définition est fermé en 15. Donc 15 est dans l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓 de 𝑥. Nous devons donc inclure ce point dans notre graphique. Nous dessinons alors cela avec un point solide. Enfin, nous connectons les deux extrémités avec un segment.
Maintenant, nous avons tracé les trois parties de notre fonction définie par morceaux 𝑓 de 𝑥. Donc, tout ce graphique est juste la fonction de 𝑓 de 𝑥, où nous avons inclus trois couleurs différentes pour mettre en évidence les trois sous-fonctions. Maintenant, nous pouvons déterminer l’ensemble image de cette fonction à partir de son graphique. Nous avons juste besoin de déterminer l’ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles étant donné son ensemble de définition.
Sur le graphique, les valeurs de sortie d’une fonction sont les coordonnées 𝑦 de tout point sur sa courbe. Par exemple, sur le graphique, nous pouvons voir que la valeur de sortie la plus élevée possible de notre fonction est huit. Nous pouvons également voir la valeur de sortie la plus basse possible. La coordonnée 𝑦 la plus basse de tout point sur notre courbe est zéro. Eh bien, nous remarquons que lorsque 𝑥 est égal à zéro et 𝑥 est égal à 15, nous avons des points solides. Nous savons donc que notre courbe passe par ces points. Et nous pourrions également voir sur le graphique que toute valeur de 𝑦 entre ces deux valeurs est une valeur de sortie possible de notre fonction. Par conséquent, l’ensemble image de notre fonction correspond à toutes les valeurs comprises entre zéro et huit. Nous pouvons l’écrire comme l’intervalle fermé de zéro à huit, ce qui est notre réponse finale.
Par conséquent, nous avons pu déterminer l’ensemble image d’une fonction linéaire définie par morceaux donnée 𝑓 de 𝑥 en traçant son graphique. Nous avons pu montrer que l’ensemble image de cette fonction était l’intervalle fermé de zéro à huit.