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Vidéo question :: Simplifier des expressions trigonométriques à l’aide des identités de Pythagore et de quotient Mathématiques • Première année secondaire

Simplifiez (1 - cos² 𝜃) / (sin² 𝜃 - 1).

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Transcription de la vidéo

Simplifiez un moins le cosinus carré de 𝜃 divisé par le sinus carré de 𝜃 moins un.

En regardant cette fraction, nous pouvons remarquer que, au numérateur, nous avons un terme cosinus carré et, au dénominateur, nous avons un terme sinus carré. Nous pouvons immédiatement penser à l’identité pythagoricienne qui dit que le sinus carré de n’importe quel angle plus le cosinus carré de ce même angle est égal à un. Cela implique que le sinus carré de 𝑥 est égal à un moins le cosinus carré de 𝑥. Aussi, le cosinus carré de 𝑥 est égal à un moins le sinus carré de 𝑥. Nous remarquons cela parce que ces relations indiquent deux substitutions que nous pouvons faire dans notre fraction d’origine.

Nous pouvons remplacer cosinus carré 𝜃 par un moins sinus carré 𝜃 et sinus carré 𝜃 par un moins cosinus carré 𝜃. En calculant les signes corrects au numérateur et au dénominateur, nous avons un moins un au numérateur et un moins un au dénominateur. Nous avons alors moins sinus carré 𝜃 sur cosinus carré 𝜃. Maintenant, nous rappelons que le sinus d’un angle divisé par le cosinus de ce même angle est égal à la tangente de cet angle. Cela signifie que le sinus carré de 𝑥 sur le cosinus carré de 𝑥 est égal à la tangente carré de 𝑥.

Par conséquent, nous pouvons écrire notre fraction de sinus carré sur cosinus carré simplement comme tangente carré. Nous avons maintenant la forme la plus simple de notre fraction d’origine. Un moins le cosinus carré de 𝜃 divisé par le sinus carré de 𝜃 moins un est égal à moins tangente carré de 𝜃.

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